Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonic Unicode version

Theorem harmonic 13670
 Description: The harmonic series diverges. This fact follows from the stronger emcl 23332, which establishes that the harmonic series grows as o(1), but this uses a more elementary method, attributed to Nicole Oresme (1323-1382). This is Metamath 100 proof #34. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
harmonic.1
harmonic.2
Assertion
Ref Expression
harmonic

Proof of Theorem harmonic
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11144 . . . 4
2 0zd 10901 . . . 4
3 1ex 9612 . . . . . 6
43fvconst2 6126 . . . . 5
54adantl 466 . . . 4
6 1red 9632 . . . 4
7 harmonic.2 . . . . . . 7
87eleq1i 2534 . . . . . 6
98biimpi 194 . . . . 5
10 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
11 harmonic.1 . . . . . . . . 9
12 ovex 6324 . . . . . . . . 9
1310, 11, 12fvmpt 5956 . . . . . . . 8
14 nnrecre 10597 . . . . . . . 8
1513, 14eqeltrd 2545 . . . . . . 7
1615adantl 466 . . . . . 6
17 nnrp 11258 . . . . . . . . . 10
1817rpreccld 11295 . . . . . . . . 9
1918rpge0d 11289 . . . . . . . 8
2019, 13breqtrrd 4478 . . . . . . 7
2120adantl 466 . . . . . 6
22 nnre 10568 . . . . . . . . . 10
2322lep1d 10502 . . . . . . . . 9
24 nngt0 10590 . . . . . . . . . 10
25 peano2re 9774 . . . . . . . . . . 11
2622, 25syl 16 . . . . . . . . . 10
27 peano2nn 10573 . . . . . . . . . . 11
2827nngt0d 10604 . . . . . . . . . 10
29 lerec 10452 . . . . . . . . . 10
3022, 24, 26, 28, 29syl22anc 1229 . . . . . . . . 9
3123, 30mpbid 210 . . . . . . . 8
32 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
33 ovex 6324 . . . . . . . . . 10
3432, 11, 33fvmpt 5956 . . . . . . . . 9
3527, 34syl 16 . . . . . . . 8
3631, 35, 133brtr4d 4482 . . . . . . 7
3736adantl 466 . . . . . 6
38 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
3938fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
4038, 39oveq12d 6314 . . . . . . . 8
41 fconstmpt 5048 . . . . . . . . 9
42 2nn 10718 . . . . . . . . . . . . . 14
43 nnexpcl 12179 . . . . . . . . . . . . . 14
4442, 43mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13
45 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
46 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . 14
4745, 11, 46fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . 13
4844, 47syl 16 . . . . . . . . . . . 12
4948oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
50 nncn 10569 . . . . . . . . . . . . 13
51 nnne0 10593 . . . . . . . . . . . . 13
5250, 51recidd 10340 . . . . . . . . . . . 12
5344, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11
5449, 53eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
5554mpteq2ia 4534 . . . . . . . . 9
5641, 55eqtr4i 2489 . . . . . . . 8
57 ovex 6324 . . . . . . . 8
5840, 56, 57fvmpt 5956 . . . . . . 7
5958adantl 466 . . . . . 6
6016, 21, 37, 59climcnds 13663 . . . . 5
619, 60mpbid 210 . . . 4
621, 2, 5, 6, 61isumrecl 13580 . . 3
63 arch 10817 . . 3
6462, 63syl 16 . 2
65 fzfid 12083 . . . . . . 7
66 ax-1cn 9571 . . . . . . 7
67 fsumconst 13605 . . . . . . 7
6865, 66, 67sylancl 662 . . . . . 6
69 nnnn0 10827 . . . . . . . . 9
7069adantl 466 . . . . . . . 8
71 hashfz1 12419 . . . . . . . 8
7270, 71syl 16 . . . . . . 7
7372oveq1d 6311 . . . . . 6
74 nncn 10569 . . . . . . . 8
7574adantl 466 . . . . . . 7
7675mulid1d 9634 . . . . . 6
7768, 73, 763eqtrd 2502 . . . . 5
78 0zd 10901 . . . . . 6
79 elfznn 11743 . . . . . . . . 9
80 nnnn0 10827 . . . . . . . . 9
8179, 80syl 16 . . . . . . . 8
8281ssriv 3507 . . . . . . 7
8382a1i 11 . . . . . 6
844adantl 466 . . . . . 6
85 1red 9632 . . . . . 6
86 0le1 10101 . . . . . . 7
8786a1i 11 . . . . . 6
8861adantr 465 . . . . . 6
891, 78, 65, 83, 84, 85, 87, 88isumless 13657 . . . . 5
9077, 89eqbrtrrd 4474 . . . 4
91 nnre 10568 . . . . 5
92 lenlt 9684 . . . . 5
9391, 62, 92syl2anr 478 . . . 4
9490, 93mpbid 210 . . 3
9594nrexdv 2913 . 2
9664, 95pm2.65i 173 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  C_wss 3475  {csn 4029   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  domcdm 5004  cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cfz 11701  seqcseq 12107   cexp 12166   chash 12405   cli 13307  sum_`csu 13508 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509
 Copyright terms: Public domain W3C validator