MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonicubnd Unicode version

Theorem harmonicubnd 22144
Description: A bound on the harmonic series, as compared to the natural logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicubnd
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem harmonicubnd
StepHypRef Expression
1 fzfid 11736 . . 3
2 elfznn 11422 . . . . 5
32adantl 456 . . . 4
43nnrecred 10313 . . 3
51, 4fsumrecl 13152 . 2
6 flge1nn 11608 . . . . 5
76nnrpd 10971 . . . 4
87relogcld 21813 . . 3
9 peano2re 9488 . . 3
108, 9syl 16 . 2
11 simpl 447 . . . . 5
12 0red 9333 . . . . . 6
13 1re 9331 . . . . . . 7
1413a1i 11 . . . . . 6
15 0lt1 9808 . . . . . . 7
1615a1i 11 . . . . . 6
17 simpr 451 . . . . . 6
1812, 14, 11, 16, 17ltletrd 9477 . . . . 5
1911, 18elrpd 10970 . . . 4
2019relogcld 21813 . . 3
21 peano2re 9488 . . 3
2220, 21syl 16 . 2
23 harmonicbnd 22138 . . . . 5
246, 23syl 16 . . . 4
25 emre 22140 . . . . . 6
2625, 13elicc2i 11306 . . . . 5
2726simp3bi 990 . . . 4
2824, 27syl 16 . . 3
295, 8, 14lesubadd2d 9884 . . 3
3028, 29mpbid 204 . 2
31 flle 11590 . . . . 5
3231adantr 455 . . . 4
337, 19logled 21817 . . . 4
3432, 33mpbid 204 . . 3
358, 20, 14, 34leadd1dd 9899 . 2
365, 10, 22, 30, 35letrd 9474 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  e.wcel 1749   class class class wbr 4267  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cr 9227  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   clt 9364   cle 9365   cmin 9541   cdiv 9939   cn 10268   cicc 11248   cfz 11381   cfl 11581  sum_csu 13104   clog 21747   cem 22126
This theorem is referenced by:  fsumharmonic  22146  logfaclbnd  22302  vmalogdivsum2  22528  logdivbnd  22546  pntrsumo1  22555  pntrlog2bndlem2  22568  pntrlog2bndlem5  22571  pntrlog2bndlem6  22573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306  ax-addf 9307  ax-mulf 9308
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-pm 7178  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-fi 7608  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xneg 11034  df-xadd 11035  df-xmul 11036  df-ioo 11249  df-ioc 11250  df-ico 11251  df-icc 11252  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-fl 11583  df-mod 11650  df-seq 11748  df-exp 11807  df-fac 11993  df-bc 12020  df-hash 12045  df-shft 12497  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-limsup 12890  df-clim 12907  df-rlim 12908  df-sum 13105  df-ef 13293  df-sin 13295  df-cos 13296  df-pi 13298  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-starv 14193  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-unif 14201  df-hom 14202  df-cco 14203  df-rest 14301  df-topn 14302  df-0g 14320  df-gsum 14321  df-topgen 14322  df-pt 14323  df-prds 14326  df-xrs 14380  df-qtop 14385  df-imas 14386  df-xps 14388  df-mre 14464  df-mrc 14465  df-acs 14467  df-mnd 15355  df-submnd 15405  df-mulg 15485  df-cntz 15772  df-cmn 16216  df-psmet 17519  df-xmet 17520  df-met 17521  df-bl 17522  df-mopn 17523  df-fbas 17524  df-fg 17525  df-cnfld 17529  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-topsp 18211  df-cld 18327  df-ntr 18328  df-cls 18329  df-nei 18406  df-lp 18444  df-perf 18445  df-cn 18535  df-cnp 18536  df-haus 18623  df-tx 18839  df-hmeo 19032  df-fil 19123  df-fm 19215  df-flim 19216  df-flf 19217  df-xms 19595  df-ms 19596  df-tms 19597  df-cncf 20154  df-limc 21041  df-dv 21042  df-log 21749  df-em 22127
  Copyright terms: Public domain W3C validator