Theorem hartogs 7990

Description: Given any set, the Hartogs number of the set is the least ordinal not dominated by that set. This theorem proves that there is always an ordinal which satisfies this. (This theorem can be proven trivially using the AC - see theorem ondomon 8959- but this proof works in ZF.) (Contributed by Jeff Hankins, 22-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hartogs

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem hartogs

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 4908	. . . . . . . . . . . 12
2		vex 3112	. . . . . . . . . . . . 13
3		onelss 4925	. . . . . . . . . . . . . 14
4	3	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13
5		ssdomg 7581	. . . . . . . . . . . . 13
6	2, 4, 5	mpsyl 63	. . . . . . . . . . . 12
7	1, 6	jca 532	. . . . . . . . . . 11
8		domtr 7588	. . . . . . . . . . . . 13
9	8	anim2i 569	. . . . . . . . . . . 12
10	9	anassrs 648	. . . . . . . . . . 11
11	7, 10	sylan 471	. . . . . . . . . 10
12	11	exp31 604	. . . . . . . . 9
13	12	com12 31	. . . . . . . 8
14	13	impd 431	. . . . . . 7
15		breq1 4455	. . . . . . . 8
16	15	elrab 3257	. . . . . . 7
17		breq1 4455	. . . . . . . 8
18	17	elrab 3257	. . . . . . 7
19	14, 16, 18	3imtr4g 270	. . . . . 6
20	19	imp 429	. . . . 5
21	20	gen2 1619	. . . 4
22		dftr2 4547	. . . 4
23	21, 22	mpbir 209	. . 3
24		ssrab2 3584	. . 3
25		ordon 6618	. . 3
26		trssord 4900	. . 3
27	23, 24, 25, 26	mp3an 1324	. 2
28		eqid 2457	. . . 4
29		eqid 2457	. . . 4
30	28, 29	hartogslem2 7989	. . 3
31		elong 4891	. . 3
32	30, 31	syl 16	. 2
33	27, 32	mpbiri 233	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  {crab 2811  cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   class class class wbr 4452  {copab 4509  Trwtr 4545  cep 4794  cid 4795  Wewwe 4842  Ordword 4882  con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  |`cres 5006  `cfv 5593  cdom 7534  OrdIsocoi 7955

This theorem is referenced by:  card2on  8001  harf  8007  harval  8009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-recs 7061  df-en 7537  df-dom 7538  df-oi 7956