MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash0 Unicode version

Theorem hash0 12437
Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hash0

Proof of Theorem hash0
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . 2
2 0ex 4582 . . 3
3 hasheq0 12433 . . 3
42, 3ax-mp 5 . 2
51, 4mpbir 209 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109   c0 3784  `cfv 5593  0cc0 9513   chash 12405
This theorem is referenced by:  hashrabrsn  12440  hashrabsn01  12441  hashrabsn1  12442  hashge0  12455  elprchashprn2  12461  hashle00  12465  hash1  12469  hashsnlei  12478  hashgt12el  12481  hashgt12el2  12482  hashfzo  12487  hashxplem  12491  hashmap  12493  hashbc  12502  hashf1lem2  12505  hashf1  12506  hash2pwpr  12519  lsw0g  12587  ccatlid  12603  ccatrid  12604  lswccat0lsw  12608  s1nz  12618  rev0  12738  repswsymballbi  12752  fsumconst  13605  incexclem  13648  incexc  13649  fprodconst  13782  prmreclem4  14437  prmreclem5  14438  0hashbc  14525  ramz2  14542  cshws0  14586  psgnunilem2  16520  psgnunilem4  16522  psgn0fv0  16536  psgnsn  16545  psgnprfval1  16547  efginvrel2  16745  efgredleme  16761  efgcpbllemb  16773  frgpnabllem1  16877  gsumconst  16954  ltbwe  18137  fta1g  22568  fta1  22704  birthdaylem3  23283  ppi1  23438  musum  23467  rpvmasum  23711  usgraedgprv  24376  usgra1v  24390  usgrafisindb0  24408  usgrafisindb1  24409  0wlk  24547  0trl  24548  0wlkon  24549  0pth  24572  0crct  24626  0cycl  24627  0clwlk  24765  vdgr0  24900  vdgr1b  24904  vdgr1a  24906  vdusgraval  24907  rusgranumwlkl1  24947  rusgra0edg  24955  eupath  24981  esumcst  28071  cntmeas  28197  ballotlemfval0  28434  signsvtn0  28527  signstfvneq0  28529  signstfveq0  28534  signsvf0  28537  derangsn  28614  subfacp1lem6  28629  hashgcdeq  31158  fzisoeu  31500  rp-isfinite6  37744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-hash 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator