MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash1snb Unicode version

Theorem hash1snb 12479
Description: The size of a set is 1 if and only if it is a singleton (containing a set). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash1snb
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem hash1snb
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . 9
2 hash1 12469 . . . . . . . . 9
31, 2syl6eqr 2516 . . . . . . . 8
43adantl 466 . . . . . . 7
5 1onn 7307 . . . . . . . . 9
6 nnfi 7730 . . . . . . . . 9
75, 6mp1i 12 . . . . . . . 8
8 hashen 12420 . . . . . . . 8
97, 8sylan2 474 . . . . . . 7
104, 9mpbid 210 . . . . . 6
11 en1 7602 . . . . . 6
1210, 11sylib 196 . . . . 5
1312ex 434 . . . 4
1413a1d 25 . . 3
15 hashinf 12410 . . . . 5
16 eqeq1 2461 . . . . . 6
17 1re 9616 . . . . . . . . 9
18 renepnf 9662 . . . . . . . . 9
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8
20 df-ne 2654 . . . . . . . . 9
21 pm2.21 108 . . . . . . . . 9
2220, 21sylbi 195 . . . . . . . 8
2319, 22ax-mp 5 . . . . . . 7
2423eqcoms 2469 . . . . . 6
2516, 24syl6bi 228 . . . . 5
2615, 25syl 16 . . . 4
2726expcom 435 . . 3
2814, 27pm2.61i 164 . 2
29 fveq2 5871 . . . 4
30 vex 3112 . . . . 5
31 hashsng 12438 . . . . 5
3230, 31ax-mp 5 . . . 4
3329, 32syl6eq 2514 . . 3
3433exlimiv 1722 . 2
3528, 34impbid1 203 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  {csn 4029   class class class wbr 4452  `cfv 5593   com 6700   c1o 7142   cen 7533   cfn 7536   cr 9512  1c1 9514   cpnf 9646   chash 12405
This theorem is referenced by:  hash1to3  12530  cshwrepswhash1  14587  mat1scmat  19041  tgldim0eq  23894  usgrafisindb1  24409  rusgrasn  24945  vdfrgra0  25022  vdn1frgrav2  25025  vdgn1frgrav2  25026  frgrawopreg1  25050  frgrawopreg2  25051  usgo1s0ALT  32437  usgo1s0  32442  c0snmgmhm  32720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-hash 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator