MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2prd Unicode version

Theorem hash2prd 12518
Description: A set of size two is an unordered pair if it contains two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
hash2prd

Proof of Theorem hash2prd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hash2prde 12516 . 2
2 elpri 4049 . . . . . . . . . 10
3 elpri 4049 . . . . . . . . . . 11
4 eqtr3 2485 . . . . . . . . . . . . . 14
5 eqneqall 2664 . . . . . . . . . . . . . . 15
65eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . 14
74, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
8 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
98prid1 4138 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1110prid2 4139 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129, 11pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . 15
13 preq12 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1413eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1513eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1614, 15anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1716ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
1812, 17mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . 14
1918a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13
208prid2 4139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2110prid1 4138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2220, 21pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23 preq12 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2423eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2523eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2624, 25anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2722, 26mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14
2928a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13
30 eqtr3 2485 . . . . . . . . . . . . . 14
3130, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
327, 19, 29, 31ccase 946 . . . . . . . . . . . 12
3332ex 434 . . . . . . . . . . 11
343, 33syl 16 . . . . . . . . . 10
352, 34syl5com 30 . . . . . . . . 9
36353imp 1190 . . . . . . . 8
3736adantl 466 . . . . . . 7
38 3simpa 993 . . . . . . . . 9
398, 10pm3.2i 455 . . . . . . . . 9
4038, 39jctil 537 . . . . . . . 8
41 df-ne 2654 . . . . . . . . 9
4241biimpi 194 . . . . . . . 8
43 prel12g 4210 . . . . . . . . 9
4443imp 429 . . . . . . . 8
4540, 42, 44syl2anr 478 . . . . . . 7
4637, 45mpbird 232 . . . . . 6
4746ex 434 . . . . 5
4847adantr 465 . . . 4
49 eleq2 2530 . . . . . . 7
50 eleq2 2530 . . . . . . 7
5149, 503anbi12d 1300 . . . . . 6
52 eqeq1 2461 . . . . . 6
5351, 52imbi12d 320 . . . . 5
5453adantl 466 . . . 4
5548, 54mpbird 232 . . 3
5655exlimivv 1723 . 2
571, 56syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  {cpr 4031  `cfv 5593  2c2 10610   chash 12405
This theorem is referenced by:  symg2bas  16423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-hash 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator