Theorem hash2pwpr 12519

Description: If the size of a subset of an unordered pair is 2, the subset is the pair itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hash2pwpr

Proof of Theorem hash2pwpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwpr 4245	. . . . 5
2	1	eleq2i 2535	. . . 4
3		elun 3644	. . . 4
4	2, 3	bitri 249	. . 3
5		elpri 4049	. . . . 5
6		elpri 4049	. . . . 5
7	5, 6	orim12i 516	. . . 4
8		fveq2 5871	. . . . . . . 8
9		hash0 12437	. . . . . . . . . 10
10	9	eqeq2i 2475	. . . . . . . . 9
11		eqeq1 2461	. . . . . . . . . 10
12		0ne2 10772	. . . . . . . . . . 11
13		eqneqall 2664	. . . . . . . . . . 11
14	12, 13	mpi 17	. . . . . . . . . 10
15	11, 14	syl6bi 228	. . . . . . . . 9
16	10, 15	sylbi 195	. . . . . . . 8
17	8, 16	syl 16	. . . . . . 7
18		hashsng 12438	. . . . . . . . 9
19		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
20	19	eqcoms 2469	. . . . . . . . . . 11
21	20	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . 10
22		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . 11
23		1ne2 10773	. . . . . . . . . . . 12
24		eqneqall 2664	. . . . . . . . . . . 12
25	23, 24	mpi 17	. . . . . . . . . . 11
26	22, 25	syl6bi 228	. . . . . . . . . 10
27	21, 26	syl6bi 228	. . . . . . . . 9
28	18, 27	syl5com 30	. . . . . . . 8
29		snprc 4093	. . . . . . . . 9
30		eqeq2 2472	. . . . . . . . . 10
31	8, 9	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . 12
32	31	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . 11
33	32, 14	syl6bi 228	. . . . . . . . . 10
34	30, 33	syl6bi 228	. . . . . . . . 9
35	29, 34	sylbi 195	. . . . . . . 8
36	28, 35	pm2.61i 164	. . . . . . 7
37	17, 36	jaoi 379	. . . . . 6
38		hashsng 12438	. . . . . . . . 9
39		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
40	39	eqcoms 2469	. . . . . . . . . . 11
41	40	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . 10
42	41, 26	syl6bi 228	. . . . . . . . 9
43	38, 42	syl5com 30	. . . . . . . 8
44		snprc 4093	. . . . . . . . 9
45		eqeq2 2472	. . . . . . . . . 10
46	8	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . 11
47	9	eqeq1i 2464	. . . . . . . . . . . 12
48	47, 14	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11
49	46, 48	syl6bi 228	. . . . . . . . . 10
50	45, 49	syl6bi 228	. . . . . . . . 9
51	44, 50	sylbi 195	. . . . . . . 8
52	43, 51	pm2.61i 164	. . . . . . 7
53		ax-1 6	. . . . . . 7
54	52, 53	jaoi 379	. . . . . 6
55	37, 54	jaoi 379	. . . . 5
56	55	com12 31	. . . 4
57	7, 56	syl5 32	. . 3
58	4, 57	syl5bi 217	. 2
59	58	imp 429	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  cvv 3109  u.cun 3473  c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  {cpr 4031  `cfv 5593  0cc0 9513  1c1 9514  2c2 10610  chash 12405

This theorem is referenced by:  pr2pwpr  12520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-hash 12406