MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2pwpr Unicode version

Theorem hash2pwpr 12519
Description: If the size of a subset of an unordered pair is 2, the subset is the pair itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
hash2pwpr

Proof of Theorem hash2pwpr
StepHypRef Expression
1 pwpr 4245 . . . . 5
21eleq2i 2535 . . . 4
3 elun 3644 . . . 4
42, 3bitri 249 . . 3
5 elpri 4049 . . . . 5
6 elpri 4049 . . . . 5
75, 6orim12i 516 . . . 4
8 fveq2 5871 . . . . . . . 8
9 hash0 12437 . . . . . . . . . 10
109eqeq2i 2475 . . . . . . . . 9
11 eqeq1 2461 . . . . . . . . . 10
12 0ne2 10772 . . . . . . . . . . 11
13 eqneqall 2664 . . . . . . . . . . 11
1412, 13mpi 17 . . . . . . . . . 10
1511, 14syl6bi 228 . . . . . . . . 9
1610, 15sylbi 195 . . . . . . . 8
178, 16syl 16 . . . . . . 7
18 hashsng 12438 . . . . . . . . 9
19 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
2019eqcoms 2469 . . . . . . . . . . 11
2120eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
22 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11
23 1ne2 10773 . . . . . . . . . . . 12
24 eqneqall 2664 . . . . . . . . . . . 12
2523, 24mpi 17 . . . . . . . . . . 11
2622, 25syl6bi 228 . . . . . . . . . 10
2721, 26syl6bi 228 . . . . . . . . 9
2818, 27syl5com 30 . . . . . . . 8
29 snprc 4093 . . . . . . . . 9
30 eqeq2 2472 . . . . . . . . . 10
318, 9syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . 12
3231eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
3332, 14syl6bi 228 . . . . . . . . . 10
3430, 33syl6bi 228 . . . . . . . . 9
3529, 34sylbi 195 . . . . . . . 8
3628, 35pm2.61i 164 . . . . . . 7
3717, 36jaoi 379 . . . . . 6
38 hashsng 12438 . . . . . . . . 9
39 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
4039eqcoms 2469 . . . . . . . . . . 11
4140eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
4241, 26syl6bi 228 . . . . . . . . 9
4338, 42syl5com 30 . . . . . . . 8
44 snprc 4093 . . . . . . . . 9
45 eqeq2 2472 . . . . . . . . . 10
468eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
479eqeq1i 2464 . . . . . . . . . . . 12
4847, 14sylbi 195 . . . . . . . . . . 11
4946, 48syl6bi 228 . . . . . . . . . 10
5045, 49syl6bi 228 . . . . . . . . 9
5144, 50sylbi 195 . . . . . . . 8
5243, 51pm2.61i 164 . . . . . . 7
53 ax-1 6 . . . . . . 7
5452, 53jaoi 379 . . . . . 6
5537, 54jaoi 379 . . . . 5
5655com12 31 . . . 4
577, 56syl5 32 . . 3
584, 57syl5bi 217 . 2
5958imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  u.cun 3473   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  {cpr 4031  `cfv 5593  0cc0 9513  1c1 9514  2c2 10610   chash 12405
This theorem is referenced by:  pr2pwpr  12520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-hash 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator