MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashbc Unicode version

Theorem hashbc 12502
Description: The binomial coefficient counts the number of subsets of a finite set of a given size. This is Metamath 100 proof #58 (formula for the number of combinations). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashbc
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem hashbc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . . . . 6
21oveq1d 6311 . . . . 5
3 pweq 4015 . . . . . . 7
4 rabeq 3103 . . . . . . 7
53, 4syl 16 . . . . . 6
65fveq2d 5875 . . . . 5
72, 6eqeq12d 2479 . . . 4
87ralbidv 2896 . . 3
9 fveq2 5871 . . . . . 6
109oveq1d 6311 . . . . 5
11 pweq 4015 . . . . . . 7
12 rabeq 3103 . . . . . . 7
1311, 12syl 16 . . . . . 6
1413fveq2d 5875 . . . . 5
1510, 14eqeq12d 2479 . . . 4
1615ralbidv 2896 . . 3
17 fveq2 5871 . . . . . 6
1817oveq1d 6311 . . . . 5
19 pweq 4015 . . . . . . 7
20 rabeq 3103 . . . . . . 7
2119, 20syl 16 . . . . . 6
2221fveq2d 5875 . . . . 5
2318, 22eqeq12d 2479 . . . 4
2423ralbidv 2896 . . 3
25 fveq2 5871 . . . . . 6
2625oveq1d 6311 . . . . 5
27 pweq 4015 . . . . . . 7
28 rabeq 3103 . . . . . . 7
2927, 28syl 16 . . . . . 6
3029fveq2d 5875 . . . . 5
3126, 30eqeq12d 2479 . . . 4
3231ralbidv 2896 . . 3
33 hash0 12437 . . . . . . . . . 10
3433a1i 11 . . . . . . . . 9
35 elfz1eq 11726 . . . . . . . . 9
3634, 35oveq12d 6314 . . . . . . . 8
37 0nn0 10835 . . . . . . . . 9
38 bcn0 12388 . . . . . . . . 9
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8
4036, 39syl6eq 2514 . . . . . . 7
41 pw0 4177 . . . . . . . . . 10
4235eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . 12
4341raleqi 3058 . . . . . . . . . . . . 13
44 0ex 4582 . . . . . . . . . . . . . 14
45 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4645, 33syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15
4746eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . 14
4844, 47ralsn 4068 . . . . . . . . . . . . 13
4943, 48bitri 249 . . . . . . . . . . . 12
5042, 49sylibr 212 . . . . . . . . . . 11
51 rabid2 3035 . . . . . . . . . . 11
5250, 51sylibr 212 . . . . . . . . . 10
5341, 52syl5reqr 2513 . . . . . . . . 9
5453fveq2d 5875 . . . . . . . 8
55 hashsng 12438 . . . . . . . . 9
5644, 55ax-mp 5 . . . . . . . 8
5754, 56syl6eq 2514 . . . . . . 7
5840, 57eqtr4d 2501 . . . . . 6
5958adantl 466 . . . . 5
6033oveq1i 6306 . . . . . 6
61 bcval3 12384 . . . . . . . 8
6237, 61mp3an1 1311 . . . . . . 7
63 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
64 0z 10900 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 elfz3 11725 . . . . . . . . . . . . . . 15
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
6763, 66syl6eqelr 2554 . . . . . . . . . . . . 13
6867con3i 135 . . . . . . . . . . . 12
6968adantl 466 . . . . . . . . . . 11
7041raleqi 3058 . . . . . . . . . . . 12
7147notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13
7244, 71ralsn 4068 . . . . . . . . . . . 12
7370, 72bitri 249 . . . . . . . . . . 11
7469, 73sylibr 212 . . . . . . . . . 10
75 rabeq0 3807 . . . . . . . . . 10
7674, 75sylibr 212 . . . . . . . . 9
7776fveq2d 5875 . . . . . . . 8
7877, 33syl6eq 2514 . . . . . . 7
7962, 78eqtr4d 2501 . . . . . 6
8060, 79syl5eq 2510 . . . . 5
8159, 80pm2.61dan 791 . . . 4
8281rgen 2817 . . 3
83 oveq2 6304 . . . . . 6
84 eqeq2 2472 . . . . . . . . 9
8584rabbidv 3101 . . . . . . . 8
86 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
8786eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9
8887cbvrabv 3108 . . . . . . . 8
8985, 88syl6eq 2514 . . . . . . 7
9089fveq2d 5875 . . . . . 6
9183, 90eqeq12d 2479 . . . . 5
9291cbvralv 3084 . . . 4
93 simpll 753 . . . . . . 7
94 simplr 755 . . . . . . 7
95 simprr 757 . . . . . . . 8
9688fveq2i 5874 . . . . . . . . . 10
9796eqeq2i 2475 . . . . . . . . 9
9897ralbii 2888 . . . . . . . 8
9995, 98sylibr 212 . . . . . . 7
100 simprl 756 . . . . . . 7
10193, 94, 99, 100hashbclem 12501 . . . . . 6
102101expr 615 . . . . 5
103102ralrimdva 2875 . . . 4
10492, 103syl5bi 217 . . 3
1058, 16, 24, 32, 82, 104findcard2s 7781 . 2
106 oveq2 6304 . . . 4
107 eqeq2 2472 . . . . . 6
108107rabbidv 3101 . . . . 5
109108fveq2d 5875 . . . 4
110106, 109eqeq12d 2479 . . 3
111110rspccva 3209 . 2
112105, 111sylan 471 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811   cvv 3109  u.cun 3473   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536  0cc0 9513  1c1 9514   cn0 10820   cz 10889   cfz 11701   cbc 12380   chash 12405
This theorem is referenced by:  hashbc2  14524  sylow1lem1  16618  musum  23467  ballotlem1  28425  ballotlem2  28427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator