MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashcl Unicode version

Theorem hashcl 12428
Description: Closure of the function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashcl

Proof of Theorem hashcl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . 3
21hashgval 12408 . 2
3 ficardom 8363 . . 3
41hashgf1o 12081 . . . . 5
5 f1of 5821 . . . . 5
64, 5ax-mp 5 . . . 4
76ffvelrni 6030 . . 3
83, 7syl 16 . 2
92, 8eqeltrrd 2546 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  e.wcel 1818   cvv 3109  e.cmpt 4510  |`cres 5006  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700  reccrdg 7094   cfn 7536   ccrd 8337  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cn0 10820   chash 12405
This theorem is referenced by:  hashclb  12430  hashnncl  12436  hashdom  12447  hashsdom  12449  hashun2  12451  hashun3  12452  hashunx  12454  hashssdif  12475  hashunlei  12483  hashsslei  12484  hashxplem  12491  hashmap  12493  hashfun  12495  hashbclem  12501  hashf1lem2  12505  hashf1  12506  hashfac  12507  fz1isolem  12510  seqcoll2  12513  hashge2el2dif  12521  hashtpg  12523  hash1to3  12530  brfi1uzind  12532  lencl  12562  wrdnfi  12574  ccatcl  12593  ccatval1  12595  ccatval2  12596  splfv1  12731  splfv2a  12732  isercoll  13490  fz1f1o  13532  o1fsum  13627  hashiun  13636  ackbijnn  13640  incexclem  13648  incexc  13649  incexc2  13650  climcndslem1  13661  climcndslem2  13662  phicl2  14298  phiprmpw  14306  sumhash  14415  prmreclem3  14436  prmreclem4  14437  prmreclem5  14438  4sqlem11  14473  vdwlem11  14509  vdwlem12  14510  vdwlem13  14511  ramlb  14537  0ram  14538  ramub1lem1  14544  ramub1lem2  14545  lagsubg2  16262  lagsubg  16263  psgnunilem4  16522  odhash3  16596  gexdvds3  16610  sylow1lem1  16618  sylow1lem5  16622  pgpfi  16625  pgpssslw  16634  sylow2alem2  16638  sylow2a  16639  sylow2blem3  16642  sylow3lem3  16649  sylow3lem4  16650  sylow3lem6  16652  cyggex2  16899  ablfacrplem  17116  ablfacrp2  17118  ablfac1c  17122  ablfac1eulem  17123  ablfac1eu  17124  pgpfac1lem2  17126  pgpfaclem2  17133  ablfaclem3  17138  0ringnnzr  17917  cygznlem1  18605  cygznlem2a  18606  cygznlem3  18608  cygth  18610  mdet1  19103  chpscmatgsumbin  19345  chpscmatgsummon  19346  tsmsxp  20657  fta1glem2  22567  fta1blem  22569  fta1lem  22703  vieta1lem2  22707  birthday  23284  ppif  23404  isnsqf  23409  muf  23414  0sgm  23418  mule1  23422  ppidif  23437  mumul  23455  musum  23467  ppiub  23479  chpub  23495  dchrabs  23535  sumdchr2  23545  dchrhash  23546  lgsquadlem1  23629  lgsquadlem2  23630  lgsquadlem3  23631  rpvmasum2  23697  dchrisum0re  23698  pntlemr  23787  pntlemj  23788  fiusgraedgfi  24407  cusgrasizeinds  24476  spthispth  24575  clwwlkndivn  24837  vdgrfival  24897  vdgrfif  24899  vdgrfiun  24902  nbhashuvtx1  24915  konigsberg  24987  frghash2spot  25063  usgreghash2spotv  25066  frgregordn0  25070  numclwwlk1  25098  numclwwlk3  25109  numclwwlk5  25112  numclwwlk6  25113  frgrareg  25117  frgraregord013  25118  frgraogt3nreg  25120  friendshipgt3  25121  friendship  25122  esumcst  28071  hasheuni  28091  coinfliplem  28417  coinflippv  28422  ballotlemfelz  28429  ballotlemfp1  28430  ballotlemgun  28463  ballotth  28476  ofccat  28497  ofcccat  28498  signshf  28545  derangf  28612  derangen2  28618  subfacp1lem1  28623  erdszelem8  28642  erdsze2lem1  28647  snmlff  28774  rrnequiv  30331  rrntotbnd  30332  eldioph2lem1  30693  isnumbasgrplem3  31054  fzisoeu  31500  stoweidlem26  31808  fourierdlem36  31925  fourierdlem52  31941  fourierdlem102  31991  fourierdlem114  32003  fiusgedgfiALT  32433  pgrple2abl  32958  pgrpgt2nabl  32959  rp-isfinite4  37742  rp-isfinite5  37743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-hash 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator