MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdom Unicode version

Theorem hashdom 12447
Description: Dominance relation for the size function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashdom

Proof of Theorem hashdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 12082 . . . . . . . 8
2 ficardom 8363 . . . . . . . 8
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7
4 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14
54hashgval 12408 . . . . . . . . . . . . 13
65ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
74hashgval 12408 . . . . . . . . . . . . . 14
81, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
9 hashcl 12428 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
11 hashcl 12428 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1211ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15
13 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
14 nn0sub2 10949 . . . . . . . . . . . . . . 15
1510, 12, 13, 14syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14
16 hashfz1 12419 . . . . . . . . . . . . . 14
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
188, 17syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . 12
196, 18oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
209nn0cnd 10879 . . . . . . . . . . . . 13
2111nn0cnd 10879 . . . . . . . . . . . . 13
22 pncan3 9851 . . . . . . . . . . . . 13
2320, 21, 22syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12
2423adantr 465 . . . . . . . . . . 11
2519, 24eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
26 ficardom 8363 . . . . . . . . . . . 12
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
284hashgadd 12445 . . . . . . . . . . 11
2927, 3, 28sylancl 662 . . . . . . . . . 10
304hashgval 12408 . . . . . . . . . . 11
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
3225, 29, 313eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9
3332fveq2d 5875 . . . . . . . 8
344hashgf1o 12081 . . . . . . . . 9
35 nnacl 7279 . . . . . . . . . 10
3627, 3, 35sylancl 662 . . . . . . . . 9
37 f1ocnvfv1 6182 . . . . . . . . 9
3834, 36, 37sylancr 663 . . . . . . . 8
39 ficardom 8363 . . . . . . . . . 10
4039ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
41 f1ocnvfv1 6182 . . . . . . . . 9
4234, 40, 41sylancr 663 . . . . . . . 8
4333, 38, 423eqtr3d 2506 . . . . . . 7
44 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
4544eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
4645rspcev 3210 . . . . . . 7
473, 43, 46sylancr 663 . . . . . 6
4847ex 434 . . . . 5
49 cardnn 8365 . . . . . . . . . 10
5049adantl 466 . . . . . . . . 9
5150oveq2d 6312 . . . . . . . 8
5251eqeq1d 2459 . . . . . . 7
53 fveq2 5871 . . . . . . . 8
54 nnfi 7730 . . . . . . . . 9
55 ficardom 8363 . . . . . . . . . . . . . 14
564hashgadd 12445 . . . . . . . . . . . . . 14
5726, 55, 56syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13
584hashgval 12408 . . . . . . . . . . . . . 14
595, 58oveqan12d 6315 . . . . . . . . . . . . 13
6057, 59eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
6160adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
6230ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
6361, 62eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
64 hashcl 12428 . . . . . . . . . . . . . . 15
6564nn0ge0d 10880 . . . . . . . . . . . . . 14
6665adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
679nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . . 14
6864nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . . 14
69 addge01 10087 . . . . . . . . . . . . . 14
7067, 68, 69syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13
7166, 70mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
7271adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
73 breq2 4456 . . . . . . . . . . 11
7472, 73syl5ibcom 220 . . . . . . . . . 10
7563, 74sylbid 215 . . . . . . . . 9
7654, 75sylan2 474 . . . . . . . 8
7753, 76syl5 32 . . . . . . 7
7852, 77sylbird 235 . . . . . 6
7978rexlimdva 2949 . . . . 5
8048, 79impbid 191 . . . 4
81 nnawordex 7305 . . . . 5
8226, 39, 81syl2an 477 . . . 4
83 finnum 8350 . . . . 5
84 finnum 8350 . . . . 5
85 carddom2 8379 . . . . 5
8683, 84, 85syl2an 477 . . . 4
8780, 82, 863bitr2d 281 . . 3
8887adantlr 714 . 2
89 hashxrcl 12429 . . . . . 6
9089ad2antrr 725 . . . . 5
91 pnfge 11368 . . . . 5
9290, 91syl 16 . . . 4
93 hashinf 12410 . . . . 5
9493adantll 713 . . . 4
9592, 94breqtrrd 4478 . . 3
96 isinffi 8394 . . . . . 6
9796ancoms 453 . . . . 5
9897adantlr 714 . . . 4
99 brdomg 7546 . . . . 5
10099ad2antlr 726 . . . 4
10198, 100mpbird 232 . . 3
10295, 1012thd 240 . 2
10388, 102pm2.61dan 791 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  domcdm 5004  |`cres 5006  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700  reccrdg 7094   coa 7146   cdom 7534   cfn 7536   ccrd 8337   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cpnf 9646   cxr 9648   cle 9650   cmin 9828   cn0 10820   cfz 11701   chash 12405
This theorem is referenced by:  hashdomi  12448  hashsdom  12449  hashun2  12451  hashss  12474  hashsslei  12484  hashfun  12495  hashf1  12506  hashge3el3dif  12524  isercoll  13490  phicl2  14298  phibnd  14301  prmreclem2  14435  prmreclem3  14436  4sqlem11  14473  vdwlem11  14509  ramub2  14532  0ram  14538  ram0  14540  sylow1lem4  16621  pgpssslw  16634  fislw  16645  znfld  18599  znidomb  18600  fta1blem  22569  birthdaylem3  23283  basellem4  23357  ppiwordi  23436  musum  23467  ppiub  23479  chpub  23495  lgsqrlem4  23619  umgraex  24323  sizeusglecusg  24486  konigsberg  24987  derangenlem  28615  subfaclefac  28620  erdsze2lem1  28647  snmlff  28774  idomsubgmo  31155  aacllem  33216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-hash 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator