MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdom Unicode version

Theorem hashdom 11704
Description: Dominance relation for the size function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashdom

Proof of Theorem hashdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 11362 . . . . . . . 8
2 ficardom 7899 . . . . . . . 8
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7
4 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14
54hashgval 11672 . . . . . . . . . . . . 13
65ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12
74hashgval 11672 . . . . . . . . . . . . . 14
81, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
9 hashcl 11690 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15
11 hashcl 11690 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1211ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15
13 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
14 nn0sub2 10386 . . . . . . . . . . . . . . 15
1510, 12, 13, 14syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14
16 hashfz1 11681 . . . . . . . . . . . . . 14
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
188, 17syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . 12
196, 18oveq12d 6147 . . . . . . . . . . 11
209nn0cnd 10327 . . . . . . . . . . . . 13
2111nn0cnd 10327 . . . . . . . . . . . . 13
22 pncan3 9364 . . . . . . . . . . . . 13
2320, 21, 22syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12
2423adantr 453 . . . . . . . . . . 11
2519, 24eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10
26 ficardom 7899 . . . . . . . . . . . 12
2726ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11
284hashgadd 11702 . . . . . . . . . . 11
2927, 3, 28sylancl 645 . . . . . . . . . 10
304hashgval 11672 . . . . . . . . . . 11
3130ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10
3225, 29, 313eqtr4d 2485 . . . . . . . . 9
3332fveq2d 5779 . . . . . . . 8
344hashgf1o 11361 . . . . . . . . 9
35 nnacl 6903 . . . . . . . . . 10
3627, 3, 35sylancl 645 . . . . . . . . 9
37 f1ocnvfv1 6062 . . . . . . . . 9
3834, 36, 37sylancr 646 . . . . . . . 8
39 ficardom 7899 . . . . . . . . . 10
4039ad2antlr 709 . . . . . . . . 9
41 f1ocnvfv1 6062 . . . . . . . . 9
4234, 40, 41sylancr 646 . . . . . . . 8
4333, 38, 423eqtr3d 2483 . . . . . . 7
44 oveq2 6137 . . . . . . . . 9
4544eqeq1d 2451 . . . . . . . 8
4645rspcev 3061 . . . . . . 7
473, 43, 46sylancr 646 . . . . . 6
4847ex 425 . . . . 5
49 cardnn 7901 . . . . . . . . . 10
5049adantl 454 . . . . . . . . 9
5150oveq2d 6145 . . . . . . . 8
5251eqeq1d 2451 . . . . . . 7
53 fveq2 5775 . . . . . . . 8
54 nnfi 7348 . . . . . . . . 9
55 ficardom 7899 . . . . . . . . . . . . . 14
564hashgadd 11702 . . . . . . . . . . . . . 14
5726, 55, 56syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13
584hashgval 11672 . . . . . . . . . . . . . 14
595, 58oveqan12d 6148 . . . . . . . . . . . . 13
6057, 59eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12
6160adantlr 697 . . . . . . . . . . 11
6230ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11
6361, 62eqeq12d 2457 . . . . . . . . . 10
64 hashcl 11690 . . . . . . . . . . . . . . 15
6564nn0ge0d 10328 . . . . . . . . . . . . . 14
6665adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13
679nn0red 10326 . . . . . . . . . . . . . 14
6864nn0red 10326 . . . . . . . . . . . . . 14
69 addge01 9589 . . . . . . . . . . . . . 14
7067, 68, 69syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13
7166, 70mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12
7271adantlr 697 . . . . . . . . . . 11
73 breq2 4247 . . . . . . . . . . 11
7472, 73syl5ibcom 213 . . . . . . . . . 10
7563, 74sylbid 208 . . . . . . . . 9
7654, 75sylan2 462 . . . . . . . 8
7753, 76syl5 31 . . . . . . 7
7852, 77sylbird 228 . . . . . 6
7978rexlimdva 2837 . . . . 5
8048, 79impbid 185 . . . 4
81 nnawordex 6929 . . . . 5
8226, 39, 81syl2an 465 . . . 4
83 finnum 7886 . . . . 5
84 finnum 7886 . . . . 5
85 carddom2 7915 . . . . 5
8683, 84, 85syl2an 465 . . . 4
8780, 82, 863bitr2d 274 . . 3
8887adantlr 697 . 2
89 hashxrcl 11691 . . . . . 6
9089ad2antrr 708 . . . . 5
91 pnfge 10778 . . . . 5
9290, 91syl 16 . . . 4
93 hashinf 11674 . . . . 5
9493adantll 696 . . . 4
9592, 94breqtrrd 4269 . . 3
96 isinffi 7930 . . . . . 6
9796ancoms 441 . . . . 5
9897adantlr 697 . . . 4
99 brdomg 7167 . . . . 5
10099ad2antlr 709 . . . 4
10198, 100mpbird 225 . . 3
10295, 1012thd 233 . 2
10388, 102pm2.61dan 768 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  E.wex 1551  =wceq 1654  e.wcel 1728  E.wrex 2713   cvv 2965  C_wss 3309   class class class wbr 4243  e.cmpt 4301   com 4886  `'ccnv 4918  domcdm 4919  |`cres 4921  -1-1->wf1 5498  -1-1-onto->wf1o 5500  `cfv 5501  (class class class)co 6129  reccrdg 6716   coa 6770   cdom 7156   cfn 7158   ccrd 7873   cc 9039   cr 9040  0cc0 9041  1c1 9042   caddc 9044   cpnf 9168   cxr 9170   cle 9172   cmin 9342   cn0 10272   cfz 11094   chash 11669
This theorem is referenced by:  hashdomi  11705  hashsdom  11706  hashun2  11708  hashsslei  11736  hashfun  11751  hashf1  11757  isercoll  12512  phicl2  13208  phibnd  13211  prmreclem2  13336  prmreclem3  13337  4sqlem11  13374  vdwlem11  13410  ramub2  13433  0ram  13439  ram0  13441  sylow1lem4  15286  pgpssslw  15299  fislw  15310  znfld  16892  znidomb  16893  fta1blem  20142  birthdaylem3  20843  basellem4  20917  ppiwordi  20996  musum  21027  ppiub  21039  chpub  21055  lgsqrlem4  21179  umgraex  21409  sizeusglecusg  21546  konigsberg  21760  derangenlem  24961  subfaclefac  24966  erdsze2lem1  24993  snmlff  25120  idomsubgmo  27670  hashss  28356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-cnex 9097  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-1st 6399  df-2nd 6400  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-1o 6773  df-oadd 6777  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-fin 7162  df-card 7877  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-nn 10052  df-n0 10273  df-z 10334  df-uz 10540  df-fz 11095  df-hash 11670
  Copyright terms: Public domain W3C validator