MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashen Unicode version

Theorem hashen 11682
Description: Two finite sets have the same number of elements iff they are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashen

Proof of Theorem hashen
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5775 . . . 4
2 eqid 2443 . . . . . 6
32hashginv 11673 . . . . 5
42hashginv 11673 . . . . 5
53, 4eqeqan12d 2458 . . . 4
61, 5syl5ib 212 . . 3
7 fveq2 5775 . . . 4
82hashgval 11672 . . . . 5
92hashgval 11672 . . . . 5
108, 9eqeqan12d 2458 . . . 4
117, 10syl5ib 212 . . 3
126, 11impbid 185 . 2
13 finnum 7886 . . 3
14 finnum 7886 . . 3
15 carden2 7925 . . 3
1613, 14, 15syl2an 465 . 2
1712, 16bitrd 246 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  =wceq 1654  e.wcel 1728   cvv 2965   class class class wbr 4243  e.cmpt 4301   com 4886  `'ccnv 4918  domcdm 4919  |`cres 4921  `cfv 5501  (class class class)co 6129  reccrdg 6716   cen 7155   cfn 7158   ccrd 7873  0cc0 9041  1c1 9042   caddc 9044   chash 11669
This theorem is referenced by:  hasheni  11683  hasheqf1o  11684  hasheq0  11695  hashsng  11698  hashsdom  11706  hash1snb  11732  hash2pr  11738  hashxplem  11747  hashmap  11749  hashpw  11750  hashbclem  11752  isercolllem2  12510  isercoll  12512  fz1f1o  12555  summolem3  12559  summolem2a  12560  mertenslem1  12712  hashdvds  13215  crt  13218  phimullem  13219  eulerth  13223  4sqlem11  13374  lagsubg2  15052  orbsta2  15142  dfod2  15251  sylow1lem2  15284  sylow2alem2  15303  sylow2a  15304  slwhash  15309  sylow2  15311  sylow3lem1  15312  cyggenod  15545  lt6abl  15555  gsumval3  15565  ablfac1c  15680  ablfac1eu  15682  ablfaclem3  15696  fta1blem  20142  vieta1  20280  basellem5  20918  isppw  20948  eupai  21740  derangen2  24964  subfacp1lem3  24972  subfacp1lem5  24974  erdsze2lem1  24993  erdsze2lem2  24994  prodmolem3  25363  prodmolem2a  25364  bpolylem  26198  eldioph2lem1  26999  frlmpwfi  27418  isnumbasgrplem3  27426  idomsubgmo  27670  euhash1  28354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-cnex 9097  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-fin 7162  df-card 7877  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-nn 10052  df-n0 10273  df-z 10334  df-uz 10540  df-hash 11670
  Copyright terms: Public domain W3C validator