MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashen Unicode version

Theorem hashen 12420
Description: Two finite sets have the same number of elements iff they are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashen

Proof of Theorem hashen
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . . 4
2 eqid 2457 . . . . . 6
32hashginv 12409 . . . . 5
42hashginv 12409 . . . . 5
53, 4eqeqan12d 2480 . . . 4
61, 5syl5ib 219 . . 3
7 fveq2 5871 . . . 4
82hashgval 12408 . . . . 5
92hashgval 12408 . . . . 5
108, 9eqeqan12d 2480 . . . 4
117, 10syl5ib 219 . . 3
126, 11impbid 191 . 2
13 finnum 8350 . . 3
14 finnum 8350 . . 3
15 carden2 8389 . . 3
1613, 14, 15syl2an 477 . 2
1712, 16bitrd 253 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  domcdm 5004  |`cres 5006  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700  reccrdg 7094   cen 7533   cfn 7536   ccrd 8337  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   chash 12405
This theorem is referenced by:  hasheni  12421  hasheqf1o  12422  hasheq0  12433  hashsng  12438  hashen1  12439  hashsdom  12449  hash1snb  12479  hashxplem  12491  hashmap  12493  hashpw  12494  hashbclem  12501  hash2pr  12515  pr2pwpr  12520  hash3tr  12529  isercolllem2  13488  isercoll  13490  fz1f1o  13532  summolem3  13536  summolem2a  13537  mertenslem1  13693  prodmolem3  13740  prodmolem2a  13741  hashdvds  14305  crt  14308  phimullem  14309  eulerth  14313  4sqlem11  14473  lagsubg2  16262  orbsta2  16352  dfod2  16586  sylow1lem2  16619  sylow2alem2  16638  sylow2a  16639  slwhash  16644  sylow2  16646  sylow3lem1  16647  cyggenod  16887  lt6abl  16897  gsumval3OLD  16908  gsumval3lem1  16909  gsumval3lem2  16910  gsumval3  16911  ablfac1c  17122  ablfac1eu  17124  ablfaclem3  17138  fta1blem  22569  vieta1  22708  basellem5  23358  isppw  23388  eupai  24967  derangen2  28618  subfacp1lem3  28626  subfacp1lem5  28628  erdsze2lem1  28647  erdsze2lem2  28648  bpolylem  29810  eldioph2lem1  30693  frlmpwfi  31046  isnumbasgrplem3  31054  idomsubgmo  31155  rp-isfinite4  37742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-hash 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator