MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hasheq0 Unicode version

Theorem hasheq0 12433
Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hasheq0

Proof of Theorem hasheq0
StepHypRef Expression
1 pnfnre 9656 . . . . . . 7
21neli 2792 . . . . . 6
3 hashinf 12410 . . . . . . 7
43eleq1d 2526 . . . . . 6
52, 4mtbiri 303 . . . . 5
6 id 22 . . . . . 6
7 0re 9617 . . . . . 6
86, 7syl6eqel 2553 . . . . 5
95, 8nsyl 121 . . . 4
10 id 22 . . . . . . 7
11 0fin 7767 . . . . . . 7
1210, 11syl6eqel 2553 . . . . . 6
1312con3i 135 . . . . 5
1413adantl 466 . . . 4
159, 142falsed 351 . . 3
1615ex 434 . 2
17 hashen 12420 . . . 4
1811, 17mpan2 671 . . 3
19 fz10 11735 . . . . . 6
2019fveq2i 5874 . . . . 5
21 0nn0 10835 . . . . . 6
22 hashfz1 12419 . . . . . 6
2321, 22ax-mp 5 . . . . 5
2420, 23eqtr3i 2488 . . . 4
2524eqeq2i 2475 . . 3
26 en0 7598 . . 3
2718, 25, 263bitr3g 287 . 2
2816, 27pm2.61d2 160 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   c0 3784   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cen 7533   cfn 7536   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cpnf 9646   cn0 10820   cfz 11701   chash 12405
This theorem is referenced by:  hashneq0  12434  hashnncl  12436  hash0  12437  hashgt0  12456  hashle00  12465  seqcoll2  12513  lswcl  12589  wrdind  12702  wrd2ind  12703  swrdccat3a  12719  swrdccat3blem  12720  rev0  12738  repsw0  12749  cshwidx0  12776  fz1f1o  13532  hashbc0  14523  0hashbc  14525  ram0  14540  cshws0  14586  gsmsymgrfix  16453  sylow1lem1  16618  sylow1lem4  16621  sylow2blem3  16642  frgpnabllem1  16877  0ringnnzr  17917  01eq0ring  17920  vieta1lem2  22707  tgldimor  23893  isusgra0  24347  usgraop  24350  usgrafisindb0  24408  wwlkn0s  24705  clwwlkgt0  24771  hashecclwwlkn1  24834  usghashecclwwlk  24835  vdusgra0nedg  24908  usgravd0nedg  24918  vdn0frgrav2  25023  vdgn0frgrav2  25024  frgrawopreg  25049  frgregordn0  25070  frgrareg  25117  frgraregord013  25118  frgraregord13  25119  frgraogt3nreg  25120  friendshipgt3  25121  hasheuni  28091  signstfvn  28526  signstfveq0a  28533  signshnz  28548  elmrsubrn  28880  usgo0s0  32435  usgo0s0ALT  32436  usgo1s0ALT  32437  usgo1s0  32442  lindsrng01  33069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-hash 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator