Theorem hasheqf1oi 12424

Description: The size of two sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hasheqf1oi

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem hasheqf1oi

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hasheqf1o 12422	. . . 4
2	1	biimprd 223	. . 3
3	2	a1d 25	. 2
4		fiinfnf1o 12423	. . . 4
5	4	pm2.21d 106	. . 3
6	5	a1d 25	. 2
7		fiinfnf1o 12423	. . . 4
8		19.41v 1771	. . . . . . 7
9		f1orel 5824	. . . . . . . . . . . . 13
10	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
11		f1ocnvb 5834	. . . . . . . . . . . 12
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . . . . 11
13		f1of 5821	. . . . . . . . . . . . . . 15
14	13	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
15		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . 14
16		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . 14
17		fex2 6755	. . . . . . . . . . . . . 14
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13
19		cnvexg 6746	. . . . . . . . . . . . 13
20		f1oeq1 5812	. . . . . . . . . . . . . 14
21	20	spcegv 3195	. . . . . . . . . . . . 13
22	18, 19, 21	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12
23		pm2.24 109	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl6 33	. . . . . . . . . . 11
25	12, 24	sylbid 215	. . . . . . . . . 10
26	25	com12 31	. . . . . . . . 9
27	26	anabsi5 817	. . . . . . . 8
28	27	exlimiv 1722	. . . . . . 7
29	8, 28	sylbir 213	. . . . . 6
30	29	ex 434	. . . . 5
31	30	com13 80	. . . 4
32	7, 31	syl 16	. . 3
33	32	ancoms 453	. 2
34		hashinf 12410	. . . . . . . . . 10
35	34	expcom 435	. . . . . . . . 9
36	35	adantr 465	. . . . . . . 8
37	36	com12 31	. . . . . . 7
38	37	adantr 465	. . . . . 6
39	38	impcom 430	. . . . 5
40		hashinf 12410	. . . . . . . . . 10
41	40	expcom 435	. . . . . . . . 9
42	41	adantl 466	. . . . . . . 8
43	42	com12 31	. . . . . . 7
44	43	adantl 466	. . . . . 6
45	44	impcom 430	. . . . 5
46	39, 45	eqtr4d 2501	. . . 4
47	46	a1d 25	. . 3
48	47	ex 434	. 2
49	3, 6, 33, 48	4cases 949	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  cvv 3109  `'ccnv 5003  Relwrel 5009  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  cfn 7536  cpnf 9646  chash 12405

This theorem is referenced by:  hashf1rn  12425  wwlkexthasheq  24734  clwlksizeeq  24852  rusgranumwwlkl1  24946  rusgranumwlklem4  24952  rusgranumwwlkg  24959  frgrancvvdgeq  25043  numclwwlk1  25098  numclwwlkqhash  25100  numclwwlk2lem3  25106  bj-finsumval0  34663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-hash 12406