MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashf1lem1 Unicode version

Theorem hashf1lem1 12504
Description: Lemma for hashf1 12506. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashf1lem2.1
hashf1lem2.2
hashf1lem2.3
hashf1lem2.4
hashf1lem1.5
Assertion
Ref Expression
hashf1lem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem hashf1lem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 5786 . . . . . 6
21adantl 466 . . . . 5
3 hashf1lem2.2 . . . . . 6
4 hashf1lem2.1 . . . . . . 7
5 snfi 7616 . . . . . . 7
6 unfi 7807 . . . . . . 7
74, 5, 6sylancl 662 . . . . . 6
83, 7elmapd 7453 . . . . 5
92, 8syl5ibr 221 . . . 4
109abssdv 3573 . . 3
11 ovex 6324 . . 3
12 ssexg 4598 . . 3
1310, 11, 12sylancl 662 . 2
14 difexg 4600 . . 3
153, 14syl 16 . 2
16 vex 3112 . . . 4
17 reseq1 5272 . . . . . 6
1817eqeq1d 2459 . . . . 5
19 f1eq1 5781 . . . . 5
2018, 19anbi12d 710 . . . 4
2116, 20elab 3246 . . 3
22 f1f 5786 . . . . . . 7
2322ad2antll 728 . . . . . 6
24 ssun2 3667 . . . . . . 7
25 vex 3112 . . . . . . . 8
2625snss 4154 . . . . . . 7
2724, 26mpbir 209 . . . . . 6
28 ffvelrn 6029 . . . . . 6
2923, 27, 28sylancl 662 . . . . 5
30 hashf1lem2.3 . . . . . . 7
3130adantr 465 . . . . . 6
32 df-ima 5017 . . . . . . . . 9
33 simprl 756 . . . . . . . . . 10
3433rneqd 5235 . . . . . . . . 9
3532, 34syl5eq 2510 . . . . . . . 8
3635eleq2d 2527 . . . . . . 7
37 simprr 757 . . . . . . . 8
3827a1i 11 . . . . . . . 8
39 ssun1 3666 . . . . . . . . 9
4039a1i 11 . . . . . . . 8
41 f1elima 6171 . . . . . . . 8
4237, 38, 40, 41syl3anc 1228 . . . . . . 7
4336, 42bitr3d 255 . . . . . 6
4431, 43mtbird 301 . . . . 5
4529, 44eldifd 3486 . . . 4
4645ex 434 . . 3
4721, 46syl5bi 217 . 2
48 hashf1lem1.5 . . . . . . 7
49 f1f 5786 . . . . . . 7
5048, 49syl 16 . . . . . 6
5150adantr 465 . . . . 5
52 vex 3112 . . . . . . . 8
5325, 52f1osn 5858 . . . . . . 7
54 f1of 5821 . . . . . . 7
5553, 54ax-mp 5 . . . . . 6
56 eldifi 3625 . . . . . . . 8
5756adantl 466 . . . . . . 7
5857snssd 4175 . . . . . 6
59 fss 5744 . . . . . 6
6055, 58, 59sylancr 663 . . . . 5
61 res0 5283 . . . . . . 7
62 res0 5283 . . . . . . 7
6361, 62eqtr4i 2489 . . . . . 6
64 disjsn 4090 . . . . . . . . 9
6530, 64sylibr 212 . . . . . . . 8
6665adantr 465 . . . . . . 7
6766reseq2d 5278 . . . . . 6
6866reseq2d 5278 . . . . . 6
6963, 67, 683eqtr4a 2524 . . . . 5
70 fresaunres1 5763 . . . . 5
7151, 60, 69, 70syl3anc 1228 . . . 4
72 f1f1orn 5832 . . . . . . . . 9
7348, 72syl 16 . . . . . . . 8
7473adantr 465 . . . . . . 7
7553a1i 11 . . . . . . 7
76 eldifn 3626 . . . . . . . . 9
7776adantl 466 . . . . . . . 8
78 disjsn 4090 . . . . . . . 8
7977, 78sylibr 212 . . . . . . 7
80 f1oun 5840 . . . . . . 7
8174, 75, 66, 79, 80syl22anc 1229 . . . . . 6
82 f1of1 5820 . . . . . 6
8381, 82syl 16 . . . . 5
84 frn 5742 . . . . . . 7
8551, 84syl 16 . . . . . 6
8685, 58unssd 3679 . . . . 5
87 f1ss 5791 . . . . 5
8883, 86, 87syl2anc 661 . . . 4
89 fex 6145 . . . . . . . 8
9050, 4, 89syl2anc 661 . . . . . . 7
9190adantr 465 . . . . . 6
92 snex 4693 . . . . . 6
93 unexg 6601 . . . . . 6
9491, 92, 93sylancl 662 . . . . 5
95 reseq1 5272 . . . . . . . 8
9695eqeq1d 2459 . . . . . . 7
97 f1eq1 5781 . . . . . . 7
9896, 97anbi12d 710 . . . . . 6
9998elabg 3247 . . . . 5
10094, 99syl 16 . . . 4
10171, 88, 100mpbir2and 922 . . 3
102101ex 434 . 2
10321anbi1i 695 . . 3
104 simprlr 764 . . . . . . 7
105 f1fn 5787 . . . . . . 7
106104, 105syl 16 . . . . . 6
10781adantrl 715 . . . . . . 7
108 f1ofn 5822 . . . . . . 7
109107, 108syl 16 . . . . . 6
110 eqfnfv 5981 . . . . . 6
111106, 109, 110syl2anc 661 . . . . 5
112 fvres 5885 . . . . . . . . . . 11
113112eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10
114 simprll 763 . . . . . . . . . . 11
115114fveq1d 5873 . . . . . . . . . 10
116113, 115sylan9eqr 2520 . . . . . . . . 9
11748ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
118 f1fn 5787 . . . . . . . . . . 11
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . 10
12025, 52fnsn 5646 . . . . . . . . . . 11
121120a1i 11 . . . . . . . . . 10
12265ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
123 simpr 461 . . . . . . . . . 10
124 fvun1 5944 . . . . . . . . . 10
125119, 121, 122, 123, 124syl112anc 1232 . . . . . . . . 9
126116, 125eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
127126ralrimiva 2871 . . . . . . 7
128127biantrurd 508 . . . . . 6
129 ralunb 3684 . . . . . 6
130128, 129syl6bbr 263 . . . . 5
13125a1i 11 . . . . . . . 8
13252a1i 11 . . . . . . . 8
133 fdm 5740 . . . . . . . . . . . 12
13450, 133syl 16 . . . . . . . . . . 11
135134eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10
13630, 135mtbird 301 . . . . . . . . 9
137136adantr 465 . . . . . . . 8
138 fsnunfv 6111 . . . . . . . 8
139131, 132, 137, 138syl3anc 1228 . . . . . . 7
140139eqeq2d 2471 . . . . . 6
141 fveq2 5871 . . . . . . . 8
142 fveq2 5871 . . . . . . . 8
143141, 142eqeq12d 2479 . . . . . . 7
14425, 143ralsn 4068 . . . . . 6
145 eqcom 2466 . . . . . 6
146140, 144, 1453bitr4g 288 . . . . 5
147111, 130, 1463bitr2d 281 . . . 4
148147ex 434 . . 3
149103, 148syl5bi 217 . 2
15013, 15, 47, 102, 149en3d 7572 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cmap 7439   cen 7533   cfn 7536  1c1 9514   caddc 9516   cle 9650   chash 12405
This theorem is referenced by:  hashf1lem2  12505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-fin 7540
  Copyright terms: Public domain W3C validator