Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashf1rn Unicode version

Theorem hashf1rn 12425
 Description: The size of a finite set which is a one-to-one function is equal to the size of the function's range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 4-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashf1rn

Proof of Theorem hashf1rn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 5786 . . . . . . . 8
2 fex 6145 . . . . . . . . 9
32ex 434 . . . . . . . 8
41, 3syl 16 . . . . . . 7
54com12 31 . . . . . 6
65adantr 465 . . . . 5
76imp 429 . . . 4
8 rnexg 6732 . . . 4
97, 8jccir 539 . . 3
10 f1o2ndf1 6908 . . . . 5
11 df-2nd 6801 . . . . . . . . . 10
1211funmpt2 5630 . . . . . . . . 9
132expcom 435 . . . . . . . . . . . 12
1413adantr 465 . . . . . . . . . . 11
151, 14syl5com 30 . . . . . . . . . 10
1615impcom 430 . . . . . . . . 9
17 resfunexg 6137 . . . . . . . . 9
1812, 16, 17sylancr 663 . . . . . . . 8
19 f1oeq1 5812 . . . . . . . . . . 11
2019biimpd 207 . . . . . . . . . 10
2120eqcoms 2469 . . . . . . . . 9
2221adantl 466 . . . . . . . 8
2318, 22spcimedv 3193 . . . . . . 7
2423ex 434 . . . . . 6
2524com13 80 . . . . 5
2610, 25mpcom 36 . . . 4
2726impcom 430 . . 3
28 hasheqf1oi 12424 . . 3
299, 27, 28sylc 60 . 2
3029ex 434 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  {csn 4029  U.cuni 4249  rancrn 5005  |cres 5006  Funwfun 5587  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593   c2nd 6799   chash 12405 This theorem is referenced by:  hashimarn  12496  sizeusglecusg  24486  usgsizedg  32395  usgsizedgALT  32396  usgsizedgALT2  32397 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-hash 12406
 Copyright terms: Public domain W3C validator