MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfacen Unicode version

Theorem hashfacen 12503
Description: The number of bijections between two sets is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfacen
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem hashfacen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7545 . 2
2 bren 7545 . 2
3 eeanv 1988 . . 3
4 f1of 5821 . . . . . . . 8
5 f1odm 5825 . . . . . . . . . 10
6 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
76dmex 6733 . . . . . . . . . 10
85, 7syl6eqelr 2554 . . . . . . . . 9
9 f1odm 5825 . . . . . . . . . 10
10 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
1110dmex 6733 . . . . . . . . . 10
129, 11syl6eqelr 2554 . . . . . . . . 9
13 elmapg 7452 . . . . . . . . 9
148, 12, 13syl2anr 478 . . . . . . . 8
154, 14syl5ibr 221 . . . . . . 7
1615abssdv 3573 . . . . . 6
17 ovex 6324 . . . . . . 7
1817ssex 4596 . . . . . 6
1916, 18syl 16 . . . . 5
20 f1of 5821 . . . . . . . 8
21 f1ofo 5828 . . . . . . . . . . 11
22 forn 5803 . . . . . . . . . . 11
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . 10
246rnex 6734 . . . . . . . . . 10
2523, 24syl6eqelr 2554 . . . . . . . . 9
26 f1ofo 5828 . . . . . . . . . . 11
27 forn 5803 . . . . . . . . . . 11
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10
2910rnex 6734 . . . . . . . . . 10
3028, 29syl6eqelr 2554 . . . . . . . . 9
31 elmapg 7452 . . . . . . . . 9
3225, 30, 31syl2anr 478 . . . . . . . 8
3320, 32syl5ibr 221 . . . . . . 7
3433abssdv 3573 . . . . . 6
35 ovex 6324 . . . . . . 7
3635ssex 4596 . . . . . 6
3734, 36syl 16 . . . . 5
38 f1oco 5843 . . . . . . . . 9
3938adantll 713 . . . . . . . 8
40 f1ocnv 5833 . . . . . . . . 9
4140ad2antrr 725 . . . . . . . 8
42 f1oco 5843 . . . . . . . 8
4339, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . 7
4443ex 434 . . . . . 6
45 vex 3112 . . . . . . 7
46 f1oeq1 5812 . . . . . . 7
4745, 46elab 3246 . . . . . 6
486, 45coex 6752 . . . . . . . 8
4910cnvex 6747 . . . . . . . 8
5048, 49coex 6752 . . . . . . 7
51 f1oeq1 5812 . . . . . . 7
5250, 51elab 3246 . . . . . 6
5344, 47, 523imtr4g 270 . . . . 5
54 f1ocnv 5833 . . . . . . . . 9
5554ad2antlr 726 . . . . . . . 8
56 f1oco 5843 . . . . . . . . . 10
5756ancoms 453 . . . . . . . . 9
5857adantlr 714 . . . . . . . 8
59 f1oco 5843 . . . . . . . 8
6055, 58, 59syl2anc 661 . . . . . . 7
6160ex 434 . . . . . 6
62 vex 3112 . . . . . . 7
63 f1oeq1 5812 . . . . . . 7
6462, 63elab 3246 . . . . . 6
656cnvex 6747 . . . . . . . 8
6662, 10coex 6752 . . . . . . . 8
6765, 66coex 6752 . . . . . . 7
68 f1oeq1 5812 . . . . . . 7
6967, 68elab 3246 . . . . . 6
7061, 64, 693imtr4g 270 . . . . 5
7147, 64anbi12i 697 . . . . . 6
72 coass 5531 . . . . . . . . . . 11
73 f1ococnv1 5849 . . . . . . . . . . . . . 14
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
7574coeq2d 5170 . . . . . . . . . . . 12
7639adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13
77 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . 13
78 fcoi1 5764 . . . . . . . . . . . . 13
7976, 77, 783syl 20 . . . . . . . . . . . 12
8075, 79eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
8172, 80syl5req 2511 . . . . . . . . . 10
82 coass 5531 . . . . . . . . . . 11
83 f1ococnv2 5847 . . . . . . . . . . . . . 14
8483ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13
8584coeq1d 5169 . . . . . . . . . . . 12
8658adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13
87 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . 13
88 fcoi2 5765 . . . . . . . . . . . . 13
8986, 87, 883syl 20 . . . . . . . . . . . 12
9085, 89eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
9182, 90syl5eqr 2512 . . . . . . . . . 10
9281, 91eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9
93 eqcom 2466 . . . . . . . . 9
9492, 93syl6bb 261 . . . . . . . 8
95 f1of1 5820 . . . . . . . . . 10
9695ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
97 f1of 5821 . . . . . . . . . 10
9897ad2antrl 727 . . . . . . . . 9
9960adantrl 715 . . . . . . . . . 10
100 f1of 5821 . . . . . . . . . 10
10199, 100syl 16 . . . . . . . . 9
102 cocan1 6194 . . . . . . . . 9
10396, 98, 101, 102syl3anc 1228 . . . . . . . 8
10426ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
105 f1ofn 5822 . . . . . . . . . 10
106105ad2antll 728 . . . . . . . . 9
10743adantrr 716 . . . . . . . . . 10
108 f1ofn 5822 . . . . . . . . . 10
109107, 108syl 16 . . . . . . . . 9
110 cocan2 6195 . . . . . . . . 9
111104, 106, 109, 110syl3anc 1228 . . . . . . . 8
11294, 103, 1113bitr3d 283 . . . . . . 7
113112ex 434 . . . . . 6
11471, 113syl5bi 217 . . . . 5
11519, 37, 53, 70, 114en3d 7572 . . . 4
116115exlimivv 1723 . . 3
1173, 116sylbir 213 . 2
1181, 2, 117syl2anb 479 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442   cvv 3109  C_wss 3475   class class class wbr 4452   cid 4795  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  (class class class)co 6296   cmap 7439   cen 7533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7441  df-en 7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator