MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgadd Unicode version

Theorem hashgadd 12445
Description: maps ordinal addition to integer addition. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgadd.1
Assertion
Ref Expression
hashgadd

Proof of Theorem hashgadd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . 6
21fveq2d 5875 . . . . 5
3 fveq2 5871 . . . . . 6
43oveq2d 6312 . . . . 5
52, 4eqeq12d 2479 . . . 4
65imbi2d 316 . . 3
7 oveq2 6304 . . . . . 6
87fveq2d 5875 . . . . 5
9 fveq2 5871 . . . . . 6
109oveq2d 6312 . . . . 5
118, 10eqeq12d 2479 . . . 4
1211imbi2d 316 . . 3
13 oveq2 6304 . . . . . 6
1413fveq2d 5875 . . . . 5
15 fveq2 5871 . . . . . 6
1615oveq2d 6312 . . . . 5
1714, 16eqeq12d 2479 . . . 4
1817imbi2d 316 . . 3
19 oveq2 6304 . . . . . 6
2019fveq2d 5875 . . . . 5
21 fveq2 5871 . . . . . 6
2221oveq2d 6312 . . . . 5
2320, 22eqeq12d 2479 . . . 4
2423imbi2d 316 . . 3
25 hashgadd.1 . . . . . . . . 9
2625hashgf1o 12081 . . . . . . . 8
27 f1of 5821 . . . . . . . 8
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7
2928ffvelrni 6030 . . . . . 6
3029nn0cnd 10879 . . . . 5
3130addid1d 9801 . . . 4
32 0z 10900 . . . . . . 7
3332, 25om2uz0i 12058 . . . . . 6
3433oveq2i 6307 . . . . 5
3534a1i 11 . . . 4
36 nna0 7272 . . . . 5
3736fveq2d 5875 . . . 4
3831, 35, 373eqtr4rd 2509 . . 3
39 nnasuc 7274 . . . . . . . . . 10
4039fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
41 nnacl 7279 . . . . . . . . . 10
4232, 25om2uzsuci 12059 . . . . . . . . . 10
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9
4440, 43eqtrd 2498 . . . . . . . 8
45443adant3 1016 . . . . . . 7
4628ffvelrni 6030 . . . . . . . . . . 11
4746nn0cnd 10879 . . . . . . . . . 10
48 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . 11
49 addass 9600 . . . . . . . . . . 11
5048, 49mp3an3 1313 . . . . . . . . . 10
5130, 47, 50syl2an 477 . . . . . . . . 9
52513adant3 1016 . . . . . . . 8
53 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
54533ad2ant3 1019 . . . . . . . 8
5532, 25om2uzsuci 12059 . . . . . . . . . 10
5655oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
57563ad2ant2 1018 . . . . . . . 8
5852, 54, 573eqtr4d 2508 . . . . . . 7
5945, 58eqtrd 2498 . . . . . 6
60593expia 1198 . . . . 5
6160expcom 435 . . . 4
6261a2d 26 . . 3
636, 12, 18, 24, 38, 62finds 6726 . 2
6463impcom 430 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109   c0 3784  e.cmpt 4510  succsuc 4885  |`cres 5006  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700  reccrdg 7094   coa 7146   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cn0 10820
This theorem is referenced by:  hashdom  12447  hashun  12450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111
  Copyright terms: Public domain W3C validator