MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashge2el2dif Unicode version

Theorem hashge2el2dif 12521
Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
hashge2el2dif
Distinct variable groups:   , ,   , ,

Proof of Theorem hashge2el2dif
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . . . . . 7
2 hashsng 12438 . . . . . . 7
31, 2sylan9eqr 2520 . . . . . 6
43ralimiaa 2849 . . . . 5
5 0re 9617 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6 1re 9616 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75, 6readdcli 9630 . . . . . . . . . . . . . . 15
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
9 2re 10630 . . . . . . . . . . . . . . 15
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
11 hashcl 12428 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1211nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . . . 15
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
148, 10, 133jca 1176 . . . . . . . . . . . . 13
15 0p1e1 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16 1lt2 10727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1715, 16eqbrtri 4471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1817jctl 541 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
21 ltleletr 9698 . . . . . . . . . . . . 13
2214, 20, 21sylc 60 . . . . . . . . . . . 12
2311nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . . . . 15
24 0z 10900 . . . . . . . . . . . . . . 15
2523, 24jctil 537 . . . . . . . . . . . . . 14
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
27 zltp1le 10938 . . . . . . . . . . . . 13
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2922, 28mpbird 232 . . . . . . . . . . 11
30 0ltpnf 11361 . . . . . . . . . . . 12
31 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . 14
3332ancomd 451 . . . . . . . . . . . . 13
34 hashinf 12410 . . . . . . . . . . . . 13
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3630, 35syl5breqr 4488 . . . . . . . . . . 11
3729, 36pm2.61ian 790 . . . . . . . . . 10
38 hashgt0n0 12435 . . . . . . . . . 10
3937, 38syldan 470 . . . . . . . . 9
40 rspn0 3797 . . . . . . . . 9
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8
4241imp 429 . . . . . . 7
43 breq2 4456 . . . . . . . . . . 11
446, 9ltnlei 9726 . . . . . . . . . . . . 13
45 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . 13
4644, 45sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12
4716, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
4843, 47syl6bi 228 . . . . . . . . . 10
4948com12 31 . . . . . . . . 9
5049adantl 466 . . . . . . . 8
5150adantr 465 . . . . . . 7
5242, 51mpd 15 . . . . . 6
5352expcom 435 . . . . 5
544, 53syl 16 . . . 4
55 ax-1 6 . . . 4
5654, 55pm2.61i 164 . . 3
57 eqsn 4191 . . . . . 6
5839, 57syl 16 . . . . 5
59 equcom 1794 . . . . . . 7
6059a1i 11 . . . . . 6
6160ralbidv 2896 . . . . 5
6258, 61bitrd 253 . . . 4
6362ralbidv 2896 . . 3
6456, 63mtbid 300 . 2
65 df-ne 2654 . . . . . 6
6665rexbii 2959 . . . . 5
67 rexnal 2905 . . . . 5
6866, 67bitri 249 . . . 4
6968rexbii 2959 . . 3
70 rexnal 2905 . . 3
7169, 70bitri 249 . 2
7264, 71sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cpnf 9646   clt 9649   cle 9650  2c2 10610   cz 10889   chash 12405
This theorem is referenced by:  tglowdim1  23891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-hash 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator