Theorem hashge2el2dif 12521

Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2dif

Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem hashge2el2dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5871	. . . . . . 7
2		hashsng 12438	. . . . . . 7
3	1, 2	sylan9eqr 2520	. . . . . 6
4	3	ralimiaa 2849	. . . . 5
5		0re 9617	. . . . . . . . . . . . . . . 16
6		1re 9616	. . . . . . . . . . . . . . . 16
7	5, 6	readdcli 9630	. . . . . . . . . . . . . . 15
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
9		2re 10630	. . . . . . . . . . . . . . 15
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
11		hashcl 12428	. . . . . . . . . . . . . . . 16
12	11	nn0red 10878	. . . . . . . . . . . . . . 15
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
14	8, 10, 13	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . 13
15		0p1e1 10672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
16		1lt2 10727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
17	15, 16	eqbrtri 4471	. . . . . . . . . . . . . . . 16
18	17	jctl 541	. . . . . . . . . . . . . . 15
19	18	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14
20	19	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13
21		ltleletr 9698	. . . . . . . . . . . . 13
22	14, 20, 21	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12
23	11	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . . . . 15
24		0z 10900	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	23, 24	jctil 537	. . . . . . . . . . . . . 14
26	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
27		zltp1le 10938	. . . . . . . . . . . . 13
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
29	22, 28	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11
30		0ltpnf 11361	. . . . . . . . . . . 12
31		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	anim2i 569	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	ancomd 451	. . . . . . . . . . . . 13
34		hashinf 12410	. . . . . . . . . . . . 13
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
36	30, 35	syl5breqr 4488	. . . . . . . . . . 11
37	29, 36	pm2.61ian 790	. . . . . . . . . 10
38		hashgt0n0 12435	. . . . . . . . . 10
39	37, 38	syldan 470	. . . . . . . . 9
40		rspn0 3797	. . . . . . . . 9
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . 8
42	41	imp 429	. . . . . . 7
43		breq2 4456	. . . . . . . . . . 11
44	6, 9	ltnlei 9726	. . . . . . . . . . . . 13
45		pm2.21 108	. . . . . . . . . . . . 13
46	44, 45	sylbi 195	. . . . . . . . . . . 12
47	16, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
48	43, 47	syl6bi 228	. . . . . . . . . 10
49	48	com12 31	. . . . . . . . 9
50	49	adantl 466	. . . . . . . 8
51	50	adantr 465	. . . . . . 7
52	42, 51	mpd 15	. . . . . 6
53	52	expcom 435	. . . . 5
54	4, 53	syl 16	. . . 4
55		ax-1 6	. . . 4
56	54, 55	pm2.61i 164	. . 3
57		eqsn 4191	. . . . . 6
58	39, 57	syl 16	. . . . 5
59		equcom 1794	. . . . . . 7
60	59	a1i 11	. . . . . 6
61	60	ralbidv 2896	. . . . 5
62	58, 61	bitrd 253	. . . 4
63	62	ralbidv 2896	. . 3
64	56, 63	mtbid 300	. 2
65		df-ne 2654	. . . . . 6
66	65	rexbii 2959	. . . . 5
67		rexnal 2905	. . . . 5
68	66, 67	bitri 249	. . . 4
69	68	rexbii 2959	. . 3
70		rexnal 2905	. . 3
71	69, 70	bitri 249	. 2
72	64, 71	sylibr 212	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cfn 7536  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cpnf 9646  clt 9649  cle 9650  2c2 10610  cz 10889  chash 12405

This theorem is referenced by:  tglowdim1  23891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-hash 12406