MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt12el Unicode version

Theorem hashgt12el 12481
Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashgt12el
Distinct variable groups:   ,   , ,

Proof of Theorem hashgt12el
StepHypRef Expression
1 hash0 12437 . . . 4
2 fveq2 5871 . . . 4
31, 2syl5eqr 2512 . . 3
4 breq2 4456 . . . . . . . 8
54biimpd 207 . . . . . . 7
65eqcoms 2469 . . . . . 6
7 0le1 10101 . . . . . . 7
8 0re 9617 . . . . . . . . 9
9 1re 9616 . . . . . . . . 9
108, 9lenlti 9725 . . . . . . . 8
11 pm2.21 108 . . . . . . . 8
1210, 11sylbi 195 . . . . . . 7
137, 12ax-mp 5 . . . . . 6
146, 13syl6com 35 . . . . 5
1514adantl 466 . . . 4
1615com12 31 . . 3
173, 16syl 16 . 2
18 df-ne 2654 . . . 4
19 necom 2726 . . . 4
2018, 19bitr3i 251 . . 3
21 ralnex 2903 . . . . . . . 8
22 ralnex 2903 . . . . . . . . . 10
23 nne 2658 . . . . . . . . . . . 12
24 equcom 1794 . . . . . . . . . . . 12
2523, 24bitri 249 . . . . . . . . . . 11
2625ralbii 2888 . . . . . . . . . 10
2722, 26bitr3i 251 . . . . . . . . 9
2827ralbii 2888 . . . . . . . 8
2921, 28bitr3i 251 . . . . . . 7
30 eqsn 4191 . . . . . . . . . . . 12
3130adantl 466 . . . . . . . . . . 11
3231bicomd 201 . . . . . . . . . 10
3332ralbidv 2896 . . . . . . . . 9
34 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
35 hashsnlei 12478 . . . . . . . . . . . . . 14
3635simpri 462 . . . . . . . . . . . . 13
3734, 36syl6eqbr 4489 . . . . . . . . . . . 12
3837a1i 11 . . . . . . . . . . 11
3938reximdva0 3796 . . . . . . . . . 10
40 r19.36v 3005 . . . . . . . . . 10
4139, 40syl 16 . . . . . . . . 9
4233, 41sylbid 215 . . . . . . . 8
43 hashxrcl 12429 . . . . . . . . . 10
4443adantr 465 . . . . . . . . 9
459rexri 9667 . . . . . . . . 9
46 xrlenlt 9673 . . . . . . . . 9
4744, 45, 46sylancl 662 . . . . . . . 8
4842, 47sylibd 214 . . . . . . 7
4929, 48syl5bi 217 . . . . . 6
5049con4d 105 . . . . 5
5150impancom 440 . . . 4
5251com12 31 . . 3
5320, 52sylbi 195 . 2
5417, 53pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  `cfv 5593   cfn 7536  0cc0 9513  1c1 9514   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   chash 12405
This theorem is referenced by:  ring1ne0  17239  frgrawopreglem5  25048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-hash 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator