MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt12el2 Unicode version

Theorem hashgt12el2 12482
Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashgt12el2
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem hashgt12el2
StepHypRef Expression
1 hash0 12437 . . . 4
2 fveq2 5871 . . . 4
31, 2syl5eqr 2512 . . 3
4 breq2 4456 . . . . . . 7
54biimpd 207 . . . . . 6
65eqcoms 2469 . . . . 5
7 0le1 10101 . . . . . 6
8 0re 9617 . . . . . . . 8
9 1re 9616 . . . . . . . 8
108, 9lenlti 9725 . . . . . . 7
11 pm2.21 108 . . . . . . 7
1210, 11sylbi 195 . . . . . 6
137, 12ax-mp 5 . . . . 5
146, 13syl6com 35 . . . 4
15143ad2ant2 1018 . . 3
163, 15syl5com 30 . 2
17 df-ne 2654 . . . 4
18 necom 2726 . . . 4
1917, 18bitr3i 251 . . 3
20 ralnex 2903 . . . . . . . . . 10
21 nne 2658 . . . . . . . . . . . 12
22 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22bitri 249 . . . . . . . . . . 11
2423ralbii 2888 . . . . . . . . . 10
2520, 24bitr3i 251 . . . . . . . . 9
26 eqsn 4191 . . . . . . . . . . . . . 14
2726bicomd 201 . . . . . . . . . . . . 13
2827adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
2928adantr 465 . . . . . . . . . . 11
30 hashsnlei 12478 . . . . . . . . . . . . . 14
3130simpri 462 . . . . . . . . . . . . 13
32 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . 14
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
3531, 34mpbiri 233 . . . . . . . . . . . 12
3635ex 434 . . . . . . . . . . 11
3729, 36sylbid 215 . . . . . . . . . 10
38 hashxrcl 12429 . . . . . . . . . . . . 13
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
4039adantr 465 . . . . . . . . . . 11
419rexri 9667 . . . . . . . . . . 11
42 xrlenlt 9673 . . . . . . . . . . 11
4340, 41, 42sylancl 662 . . . . . . . . . 10
4437, 43sylibd 214 . . . . . . . . 9
4525, 44syl5bi 217 . . . . . . . 8
4645con4d 105 . . . . . . 7
4746exp31 604 . . . . . 6
4847com24 87 . . . . 5
49483imp 1190 . . . 4
5049com12 31 . . 3
5119, 50sylbi 195 . 2
5216, 51pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  `cfv 5593   cfn 7536  0cc0 9513  1c1 9514   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   chash 12405
This theorem is referenced by:  3cyclfrgrarn  25013  copisnmnd  32497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-hash 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator