Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgval Unicode version

Theorem hashgval 12408
 Description: The value of the function in terms of the mapping from to . The proof avoids the use of ax-ac 8860. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgval.1
Assertion
Ref Expression
hashgval
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem hashgval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resundir 5293 . . . . . 6
2 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
3 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
42, 3hashkf 12407 . . . . . . . . 9
5 ffn 5736 . . . . . . . . 9
6 fnresdm 5695 . . . . . . . . 9
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . . 8
8 incom 3690 . . . . . . . . . 10
9 disjdif 3900 . . . . . . . . . 10
108, 9eqtri 2486 . . . . . . . . 9
11 pnfex 11351 . . . . . . . . . . 11
1211fconst 5776 . . . . . . . . . 10
13 ffn 5736 . . . . . . . . . 10
14 fnresdisj 5696 . . . . . . . . . 10
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . 9
1610, 15mpbi 208 . . . . . . . 8
177, 16uneq12i 3655 . . . . . . 7
18 un0 3810 . . . . . . 7
1917, 18eqtri 2486 . . . . . 6
201, 19eqtri 2486 . . . . 5
21 df-hash 12406 . . . . . 6
2221reseq1i 5274 . . . . 5
23 hashgval.1 . . . . . 6
2423coeq1i 5167 . . . . 5
2520, 22, 243eqtr4i 2496 . . . 4
2625fveq1i 5872 . . 3
27 cardf2 8345 . . . . 5
28 ffun 5738 . . . . 5
2927, 28ax-mp 5 . . . 4
30 finnum 8350 . . . 4
31 fvco 5949 . . . 4
3229, 30, 31sylancr 663 . . 3
3326, 32syl5eq 2510 . 2
34 fvres 5885 . 2
3533, 34eqtr3d 2500 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  |cres 5006  o.ccom 5008  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700  reccrdg 7094   cen 7533   cfn 7536   ccrd 8337  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cpnf 9646   cn0 10820   chash 12405 This theorem is referenced by:  hashginv  12409  hashfz1  12419  hashen  12420  hashcard  12427  hashcl  12428  hashgval2  12446  hashdom  12447  hashun  12450  fz1isolem  12510 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-hash 12406
 Copyright terms: Public domain W3C validator