Theorem hashkf 12407

Description: The finite part of the size function maps all finite sets to their cardinality, as members of . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashgval.1
hashkf.2

Assertion

Ref	Expression
hashkf

Proof of Theorem hashkf

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 7119	. . . . . . 7
2		hashgval.1	. . . . . . . 8
3	2	fneq1i 5680	. . . . . . 7
4	1, 3	mpbir 209	. . . . . 6
5		fnfun 5683	. . . . . 6
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5
7		cardf2 8345	. . . . . 6
8		ffun 5738	. . . . . 6
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5
10		funco 5631	. . . . 5
11	6, 9, 10	mp2an 672	. . . 4
12		dmco 5520	. . . . 5
13		fndm 5685	. . . . . . 7
14	4, 13	ax-mp 5	. . . . . 6
15	14	imaeq2i 5340	. . . . 5
16		funfn 5622	. . . . . . . . 9
17	9, 16	mpbi 208	. . . . . . . 8
18		elpreima 6007	. . . . . . . 8
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7
20		id 22	. . . . . . . . . 10
21		cardid2 8355	. . . . . . . . . . 11
22	21	ensymd 7586	. . . . . . . . . 10
23		breq2 4456	. . . . . . . . . . 11
24	23	rspcev 3210	. . . . . . . . . 10
25	20, 22, 24	syl2anr 478	. . . . . . . . 9
26		isfi 7559	. . . . . . . . 9
27	25, 26	sylibr 212	. . . . . . . 8
28		finnum 8350	. . . . . . . . 9
29		ficardom 8363	. . . . . . . . 9
30	28, 29	jca 532	. . . . . . . 8
31	27, 30	impbii 188	. . . . . . 7
32	19, 31	bitri 249	. . . . . 6
33	32	eqriv 2453	. . . . 5
34	12, 15, 33	3eqtri 2490	. . . 4
35		df-fn 5596	. . . 4
36	11, 34, 35	mpbir2an 920	. . 3
37		hashkf.2	. . . 4
38	37	fneq1i 5680	. . 3
39	36, 38	mpbir 209	. 2
40	37	fveq1i 5872	. . . . 5
41		fvco 5949	. . . . . 6
42	9, 28, 41	sylancr 663	. . . . 5
43	40, 42	syl5eq 2510	. . . 4
44	2	hashgf1o 12081	. . . . . . 7
45		f1of 5821	. . . . . . 7
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . . 6
47	46	ffvelrni 6030	. . . . 5
48	29, 47	syl 16	. . . 4
49	43, 48	eqeltrd 2545	. . 3
50	49	rgen 2817	. 2
51		ffnfv 6057	. 2
52	39, 50, 51	mpbir2an 920	1

Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  con0 4883  `'ccnv 5003  domcdm 5004  |`cres 5006  "cima 5007  o.ccom 5008  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  com 6700  reccrdg 7094  cen 7533  cfn 7536  ccrd 8337  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cn0 10820

This theorem is referenced by:  hashgval  12408  hashinf  12410  hashf  12412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111