Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashkf Unicode version

Theorem hashkf 12407
 Description: The finite part of the size function maps all finite sets to their cardinality, as members of . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
hashgval.1
hashkf.2
Assertion
Ref Expression
hashkf

Proof of Theorem hashkf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 7119 . . . . . . 7
2 hashgval.1 . . . . . . . 8
32fneq1i 5680 . . . . . . 7
41, 3mpbir 209 . . . . . 6
5 fnfun 5683 . . . . . 6
64, 5ax-mp 5 . . . . 5
7 cardf2 8345 . . . . . 6
8 ffun 5738 . . . . . 6
97, 8ax-mp 5 . . . . 5
10 funco 5631 . . . . 5
116, 9, 10mp2an 672 . . . 4
12 dmco 5520 . . . . 5
13 fndm 5685 . . . . . . 7
144, 13ax-mp 5 . . . . . 6
1514imaeq2i 5340 . . . . 5
16 funfn 5622 . . . . . . . . 9
179, 16mpbi 208 . . . . . . . 8
18 elpreima 6007 . . . . . . . 8
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . 7
20 id 22 . . . . . . . . . 10
21 cardid2 8355 . . . . . . . . . . 11
2221ensymd 7586 . . . . . . . . . 10
23 breq2 4456 . . . . . . . . . . 11
2423rspcev 3210 . . . . . . . . . 10
2520, 22, 24syl2anr 478 . . . . . . . . 9
26 isfi 7559 . . . . . . . . 9
2725, 26sylibr 212 . . . . . . . 8
28 finnum 8350 . . . . . . . . 9
29 ficardom 8363 . . . . . . . . 9
3028, 29jca 532 . . . . . . . 8
3127, 30impbii 188 . . . . . . 7
3219, 31bitri 249 . . . . . 6
3332eqriv 2453 . . . . 5
3412, 15, 333eqtri 2490 . . . 4
35 df-fn 5596 . . . 4
3611, 34, 35mpbir2an 920 . . 3
37 hashkf.2 . . . 4
3837fneq1i 5680 . . 3
3936, 38mpbir 209 . 2
4037fveq1i 5872 . . . . 5
41 fvco 5949 . . . . . 6
429, 28, 41sylancr 663 . . . . 5
4340, 42syl5eq 2510 . . . 4
442hashgf1o 12081 . . . . . . 7
45 f1of 5821 . . . . . . 7
4644, 45ax-mp 5 . . . . . 6
4746ffvelrni 6030 . . . . 5
4829, 47syl 16 . . . 4
4943, 48eqeltrd 2545 . . 3
5049rgen 2817 . 2
51 ffnfv 6057 . 2
5239, 50, 51mpbir2an 920 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   con0 4883  'ccnv 5003  domcdm 5004  |cres 5006  "cima 5007  o.ccom 5008  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700  reccrdg 7094   cen 7533   cfn 7536   ccrd 8337  0cc0 9513  1`c1 9514   caddc 9516   cn0 10820 This theorem is referenced by:  hashgval  12408  hashinf  12410  hashf  12412 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111
 Copyright terms: Public domain W3C validator