MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashmap Unicode version

Theorem hashmap 12493
Description: The size of the set exponential of two finite sets is the exponential of their sizes. (This is the original motivation behind the notation for set exponentiation.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashmap

Proof of Theorem hashmap
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6303 . . . . . 6
21fveq2d 5875 . . . . 5
3 fveq2 5871 . . . . . 6
43oveq1d 6311 . . . . 5
52, 4eqeq12d 2479 . . . 4
65imbi2d 316 . . 3
7 oveq2 6304 . . . . . . . 8
87fveq2d 5875 . . . . . . 7
9 fveq2 5871 . . . . . . . 8
109oveq2d 6312 . . . . . . 7
118, 10eqeq12d 2479 . . . . . 6
1211imbi2d 316 . . . . 5
13 oveq2 6304 . . . . . . . 8
1413fveq2d 5875 . . . . . . 7
15 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1615oveq2d 6312 . . . . . . 7
1714, 16eqeq12d 2479 . . . . . 6
1817imbi2d 316 . . . . 5
19 oveq2 6304 . . . . . . . 8
2019fveq2d 5875 . . . . . . 7
21 fveq2 5871 . . . . . . . 8
2221oveq2d 6312 . . . . . . 7
2320, 22eqeq12d 2479 . . . . . 6
2423imbi2d 316 . . . . 5
25 oveq2 6304 . . . . . . . 8
2625fveq2d 5875 . . . . . . 7
27 fveq2 5871 . . . . . . . 8
2827oveq2d 6312 . . . . . . 7
2926, 28eqeq12d 2479 . . . . . 6
3029imbi2d 316 . . . . 5
31 hashcl 12428 . . . . . . . . 9
3231nn0cnd 10879 . . . . . . . 8
3332exp0d 12304 . . . . . . 7
3433eqcomd 2465 . . . . . 6
35 vex 3112 . . . . . . . . . 10
36 map0e 7476 . . . . . . . . . 10
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . 9
38 df1o2 7161 . . . . . . . . 9
3937, 38eqtri 2486 . . . . . . . 8
4039fveq2i 5874 . . . . . . 7
41 0ex 4582 . . . . . . . 8
42 hashsng 12438 . . . . . . . 8
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . 7
4440, 43eqtri 2486 . . . . . 6
45 hash0 12437 . . . . . . 7
4645oveq2i 6307 . . . . . 6
4734, 44, 463eqtr4g 2523 . . . . 5
48 oveq1 6303 . . . . . . . 8
49 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
50 snex 4693 . . . . . . . . . . . . 13
5149, 50, 353pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . 12
52 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13
53 disjsn 4090 . . . . . . . . . . . . 13
5452, 53sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12
55 mapunen 7706 . . . . . . . . . . . 12
5651, 54, 55sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
57 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13
58 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14
59 snfi 7616 . . . . . . . . . . . . . 14
60 unfi 7807 . . . . . . . . . . . . . 14
6158, 59, 60sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
62 mapfi 7836 . . . . . . . . . . . . 13
6357, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
64 mapfi 7836 . . . . . . . . . . . . . 14
6564adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13
66 mapfi 7836 . . . . . . . . . . . . . 14
6757, 59, 66sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
68 xpfi 7811 . . . . . . . . . . . . 13
6965, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
70 hashen 12420 . . . . . . . . . . . 12
7163, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
7256, 71mpbird 232 . . . . . . . . . 10
73 hashxp 12492 . . . . . . . . . . . 12
7465, 67, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
75 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
7635, 75mapsnen 7613 . . . . . . . . . . . . 13
77 hashen 12420 . . . . . . . . . . . . . 14
7867, 57, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
7976, 78mpbiri 233 . . . . . . . . . . . 12
8079oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
8174, 80eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
8272, 81eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
83 hashunsng 12459 . . . . . . . . . . . . 13
8475, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
8584adantl 466 . . . . . . . . . . 11
8685oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
8732adantr 465 . . . . . . . . . . 11
88 hashcl 12428 . . . . . . . . . . . 12
8988ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11
9087, 89expp1d 12311 . . . . . . . . . 10
9186, 90eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
9282, 91eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
9348, 92syl5ibr 221 . . . . . . 7
9493expcom 435 . . . . . 6
9594a2d 26 . . . . 5
9612, 18, 24, 30, 47, 95findcard2s 7781 . . . 4
9796com12 31 . . 3
986, 97vtoclga 3173 . 2
9998imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1o 7142   cmap 7439   cen 7533   cfn 7536   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cn0 10820   cexp 12166   chash 12405
This theorem is referenced by:  hashpw  12494  hashwrdn  12573  prmreclem2  14435  birthdaylem2  23282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator