MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashtpg Unicode version

Theorem hashtpg 12523
Description: The size of an unordered triple of three different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashtpg

Proof of Theorem hashtpg
StepHypRef Expression
1 simpl3 1001 . . . . . 6
2 prfi 7815 . . . . . . 7
32a1i 11 . . . . . 6
4 elprg 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 orcom 387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 nne 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
86, 7bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
98bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10 nne 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1110bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129, 11orbi12i 521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135, 12bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144, 13syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . 14
16153ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . 13
1716imp 429 . . . . . . . . . . . 12
1817olcd 393 . . . . . . . . . . 11
1918ex 434 . . . . . . . . . 10
20 3orass 976 . . . . . . . . . 10
2119, 20syl6ibr 227 . . . . . . . . 9
22 3ianor 990 . . . . . . . . 9
2321, 22syl6ibr 227 . . . . . . . 8
2423con2d 115 . . . . . . 7
2524imp 429 . . . . . 6
26 hashunsng 12459 . . . . . . 7
2726imp 429 . . . . . 6
281, 3, 25, 27syl12anc 1226 . . . . 5
29 simpr1 1002 . . . . . . 7
30 3simpa 993 . . . . . . . . 9
3130adantr 465 . . . . . . . 8
32 hashprg 12460 . . . . . . . 8
3331, 32syl 16 . . . . . . 7
3429, 33mpbid 210 . . . . . 6
3534oveq1d 6311 . . . . 5
3628, 35eqtrd 2498 . . . 4
37 df-tp 4034 . . . . 5
3837fveq2i 5874 . . . 4
39 df-3 10620 . . . 4
4036, 38, 393eqtr4g 2523 . . 3
4140ex 434 . 2
42 nne 2658 . . . . . . 7
43 hashprlei 12514 . . . . . . . . . 10
44 prfi 7815 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 hashcl 12428 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4645nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . . . . 15
4744, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
48 2z 10921 . . . . . . . . . . . . . 14
49 zleltp1 10939 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 2p1e3 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5251breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15
5449, 53sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14
5547, 48, 54mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13
5645nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . . . 15
5744, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
58 3re 10634 . . . . . . . . . . . . . 14
5957, 58ltnei 9729 . . . . . . . . . . . . 13
6055, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12
6160necomd 2728 . . . . . . . . . . 11
6261adantl 466 . . . . . . . . . 10
6343, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9
6463a1i 11 . . . . . . . 8
65 tpeq1 4118 . . . . . . . . . . 11
66 tpidm12 4131 . . . . . . . . . . 11
6765, 66syl6req 2515 . . . . . . . . . 10
6867fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
6968neeq1d 2734 . . . . . . . 8
7064, 69syl5ib 219 . . . . . . 7
7142, 70sylbi 195 . . . . . 6
72 hashprlei 12514 . . . . . . . . . 10
73 prfi 7815 . . . . . . . . . . . . . . 15
74 hashcl 12428 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7574nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . . . . 15
7673, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
77 zleltp1 10939 . . . . . . . . . . . . . . 15
7850a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7978breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15
8177, 80sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14
8276, 48, 81mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13
8374nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . . . 15
8473, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
8584, 58ltnei 9729 . . . . . . . . . . . . 13
8682, 85syl 16 . . . . . . . . . . . 12
8786necomd 2728 . . . . . . . . . . 11
8887adantl 466 . . . . . . . . . 10
8972, 88ax-mp 5 . . . . . . . . 9
9089a1i 11 . . . . . . . 8
91 tpeq2 4119 . . . . . . . . . . 11
92 tpidm23 4133 . . . . . . . . . . 11
9391, 92syl6req 2515 . . . . . . . . . 10
9493fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
9594neeq1d 2734 . . . . . . . 8
9690, 95syl5ib 219 . . . . . . 7
976, 96sylbi 195 . . . . . 6
98 hashprlei 12514 . . . . . . . . . 10
99 hashcl 12428 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10099nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . . . . 15
1012, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
102 zleltp1 10939 . . . . . . . . . . . . . . 15
10350a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
104103breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105104biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15
106102, 105sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14
107101, 48, 106mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13
10899nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . . . 15
1092, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
110109, 58ltnei 9729 . . . . . . . . . . . . 13
111107, 110syl 16 . . . . . . . . . . . 12
112111necomd 2728 . . . . . . . . . . 11
113112adantl 466 . . . . . . . . . 10
11498, 113ax-mp 5 . . . . . . . . 9
115114a1i 11 . . . . . . . 8
116 tpeq3 4120 . . . . . . . . . . 11
117 tpidm13 4132 . . . . . . . . . . 11
118116, 117syl6req 2515 . . . . . . . . . 10
119118fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
120119neeq1d 2734 . . . . . . . 8
121115, 120syl5ib 219 . . . . . . 7
12210, 121sylbi 195 . . . . . 6
12371, 97, 1223jaoi 1291 . . . . 5
12422, 123sylbi 195 . . . 4
125124com12 31 . . 3
126125necon4bd 2679 . 2
12741, 126impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  u.cun 3473  {csn 4029  {cpr 4031  {ctp 4033   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cr 9512  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650  2c2 10610  3c3 10611   cz 10889   chash 12405
This theorem is referenced by:  hashge3el3dif  12524  constr3lem2  24646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-hash 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator