MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashunx Unicode version

Theorem hashunx 12454
Description: The size of the union of disjoint sets is the result of the extended real addition of their sizes, analogous to hashun 12450. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashunx

Proof of Theorem hashunx
StepHypRef Expression
1 hashun 12450 . . . . . 6
213expa 1196 . . . . 5
3 hashcl 12428 . . . . . . . . . 10
43nn0red 10878 . . . . . . . . 9
5 hashcl 12428 . . . . . . . . . 10
65nn0red 10878 . . . . . . . . 9
74, 6anim12i 566 . . . . . . . 8
87adantr 465 . . . . . . 7
9 rexadd 11460 . . . . . . 7
108, 9syl 16 . . . . . 6
1110eqcomd 2465 . . . . 5
122, 11eqtrd 2498 . . . 4
1312expcom 435 . . 3
14133ad2ant3 1019 . 2
15 unexg 6601 . . . . . 6
16 unfir 7808 . . . . . . 7
1716con3i 135 . . . . . 6
18 hashinf 12410 . . . . . 6
1915, 17, 18syl2anr 478 . . . . 5
20 ianor 488 . . . . . . 7
21 simprl 756 . . . . . . . . . . 11
22 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
23 hashnfinnn0 12432 . . . . . . . . . . . . . 14
2423ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
2625impcom 430 . . . . . . . . . . 11
27 hashinfxadd 12453 . . . . . . . . . . 11
2821, 22, 26, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
2928eqcomd 2465 . . . . . . . . 9
3029ex 434 . . . . . . . 8
31 hashxrcl 12429 . . . . . . . . . . . . . 14
32 hashxrcl 12429 . . . . . . . . . . . . . 14
3331, 32anim12i 566 . . . . . . . . . . . . 13
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
35 xaddcom 11466 . . . . . . . . . . . 12
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11
37 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
38 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
39 hashnfinnn0 12432 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
4241impcom 430 . . . . . . . . . . . 12
43 hashinfxadd 12453 . . . . . . . . . . . 12
4437, 38, 42, 43syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
4536, 44eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
4645eqcomd 2465 . . . . . . . . 9
4746ex 434 . . . . . . . 8
4830, 47jaoi 379 . . . . . . 7
4920, 48sylbi 195 . . . . . 6
5049imp 429 . . . . 5
5119, 50eqtrd 2498 . . . 4
5251expcom 435 . . 3
53523adant3 1016 . 2
5414, 53pm2.61d 158 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  e/wnel 2653   cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474   c0 3784  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cr 9512   caddc 9516   cpnf 9646   cxr 9648   cn0 10820   cxad 11345   chash 12405
This theorem is referenced by:  vdgrun  24901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-xadd 11348  df-hash 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator