Theorem hashunx 12454

Description: The size of the union of disjoint sets is the result of the extended real addition of their sizes, analogous to hashun 12450. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashunx

Proof of Theorem hashunx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashun 12450	. . . . . 6
2	1	3expa 1196	. . . . 5
3		hashcl 12428	. . . . . . . . . 10
4	3	nn0red 10878	. . . . . . . . 9
5		hashcl 12428	. . . . . . . . . 10
6	5	nn0red 10878	. . . . . . . . 9
7	4, 6	anim12i 566	. . . . . . . 8
8	7	adantr 465	. . . . . . 7
9		rexadd 11460	. . . . . . 7
10	8, 9	syl 16	. . . . . 6
11	10	eqcomd 2465	. . . . 5
12	2, 11	eqtrd 2498	. . . 4
13	12	expcom 435	. . 3
14	13	3ad2ant3 1019	. 2
15		unexg 6601	. . . . . 6
16		unfir 7808	. . . . . . 7
17	16	con3i 135	. . . . . 6
18		hashinf 12410	. . . . . 6
19	15, 17, 18	syl2anr 478	. . . . 5
20		ianor 488	. . . . . . 7
21		simprl 756	. . . . . . . . . . 11
22		simprr 757	. . . . . . . . . . 11
23		hashnfinnn0 12432	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
26	25	impcom 430	. . . . . . . . . . 11
27		hashinfxadd 12453	. . . . . . . . . . 11
28	21, 22, 26, 27	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10
29	28	eqcomd 2465	. . . . . . . . 9
30	29	ex 434	. . . . . . . 8
31		hashxrcl 12429	. . . . . . . . . . . . . 14
32		hashxrcl 12429	. . . . . . . . . . . . . 14
33	31, 32	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . 13
34	33	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
35		xaddcom 11466	. . . . . . . . . . . 12
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . . . 11
37		simprr 757	. . . . . . . . . . . 12
38		simprl 756	. . . . . . . . . . . 12
39		hashnfinnn0 12432	. . . . . . . . . . . . . . 15
40	39	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14
41	40	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	impcom 430	. . . . . . . . . . . 12
43		hashinfxadd 12453	. . . . . . . . . . . 12
44	37, 38, 42, 43	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11
45	36, 44	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10
46	45	eqcomd 2465	. . . . . . . . 9
47	46	ex 434	. . . . . . . 8
48	30, 47	jaoi 379	. . . . . . 7
49	20, 48	sylbi 195	. . . . . 6
50	49	imp 429	. . . . 5
51	19, 50	eqtrd 2498	. . . 4
52	51	expcom 435	. . 3
53	52	3adant3 1016	. 2
54	14, 53	pm2.61d 158	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  e/wnel 2653  cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  c0 3784  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cfn 7536  cr 9512  caddc 9516  cpnf 9646  cxr 9648  cn0 10820  cxad 11345  chash 12405

This theorem is referenced by:  vdgrun  24901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-xadd 11348  df-hash 12406