Theorem hsmexlem1 8827

Description: Lemma for hsmex 8833. Bound the order type of a limited-cardinality set of ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hsmexlem.o

Assertion

Ref	Expression
hsmexlem1

Proof of Theorem hsmexlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hsmexlem.o	. . . 4
2	1	oicl 7975	. . 3
3		relwdom 8013	. . . . . . . 8
4	3	brrelexi 5045	. . . . . . 7
5	4	adantl 466	. . . . . 6
6		uniexg 6597	. . . . . 6
7		sucexg 6645	. . . . . 6
8	5, 6, 7	3syl 20	. . . . 5
9	1	oif 7976	. . . . . . 7
10		onsucuni 6663	. . . . . . . 8
11	10	adantr 465	. . . . . . 7
12		fss 5744	. . . . . . 7
13	9, 11, 12	sylancr 663	. . . . . 6
14	1	oismo 7986	. . . . . . . 8
15	14	adantr 465	. . . . . . 7
16	15	simpld 459	. . . . . 6
17		ssorduni 6621	. . . . . . . 8
18	17	adantr 465	. . . . . . 7
19		ordsuc 6649	. . . . . . 7
20	18, 19	sylib 196	. . . . . 6
21		smorndom 7058	. . . . . 6
22	13, 16, 20, 21	syl3anc 1228	. . . . 5
23	8, 22	ssexd 4599	. . . 4
24		elong 4891	. . . 4
25	23, 24	syl 16	. . 3
26	2, 25	mpbiri 233	. 2
27		canth2g 7691	. . . 4
28		sdomdom 7563	. . . 4
29	23, 27, 28	3syl 20	. . 3
30		simpl 457	. . . . . . . . . . 11
31		epweon 6619	. . . . . . . . . . 11
32		wess 4871	. . . . . . . . . . 11
33	30, 31, 32	mpisyl 18	. . . . . . . . . 10
34		epse 4867	. . . . . . . . . 10
35	1	oiiso2 7977	. . . . . . . . . 10
36	33, 34, 35	sylancl 662	. . . . . . . . 9
37		isof1o 6221	. . . . . . . . 9
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . 8
39	15	simprd 463	. . . . . . . . 9
40		f1oeq3 5814	. . . . . . . . 9
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . 8
42	38, 41	mpbid 210	. . . . . . 7
43		f1oen2g 7552	. . . . . . 7
44	26, 5, 42, 43	syl3anc 1228	. . . . . 6
45		endom 7562	. . . . . 6
46		domwdom 8021	. . . . . 6
47	44, 45, 46	3syl 20	. . . . 5
48		wdomtr 8022	. . . . 5
49	47, 48	sylancom 667	. . . 4
50		wdompwdom 8025	. . . 4
51	49, 50	syl 16	. . 3
52		domtr 7588	. . 3
53	29, 51, 52	syl2anc 661	. 2
54		elharval 8010	. 2
55	26, 53, 54	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  cep 4794  Sewse 4841  Wewwe 4842  Ordword 4882  con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  Smowsmo 7035  cen 7533  cdom 7534  csdm 7535  OrdIsocoi 7955  char 8003  cwdom 8004

This theorem is referenced by:  hsmexlem2  8828  hsmexlem4  8830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-smo 7036  df-recs 7061  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-oi 7956  df-har 8005  df-wdom 8006