Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hsmexlem2 Unicode version

Theorem hsmexlem2 8828
 Description: Lemma for hsmex 8833. Bound the order type of a union of sets of ordinals, each of limited order type. Vaguely reminiscent of unictb 8971 but use of order types allows to canonically choose the sub-bijections, removing the choice requirement. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hsmexlem.f
hsmexlem.g
Assertion
Ref Expression
hsmexlem2
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem hsmexlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4021 . . . . . 6
21adantr 465 . . . . 5
32ralimi 2850 . . . 4
4 iunss 4371 . . . 4
53, 4sylibr 212 . . 3
7 xpexg 6602 . . . 4
9 nfv 1707 . . . . . . . . 9
10 nfra1 2838 . . . . . . . . 9
119, 10nfan 1928 . . . . . . . 8
12 rsp 2823 . . . . . . . . 9
13 onelss 4925 . . . . . . . . . . . . . 14
1413imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
1514adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12
16153adant3 1016 . . . . . . . . . . 11
17 hsmexlem.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1817oismo 7986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
191, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2019ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
2217oif 7976 . . . . . . . . . . . . . . 15
2321, 22jctil 537 . . . . . . . . . . . . . 14
24 dffo2 5804 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13
26 dffo3 6046 . . . . . . . . . . . . . 14
2726simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13
28 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . 13
2925, 27, 283syl 20 . . . . . . . . . . . 12
30293impia 1193 . . . . . . . . . . 11
31 ssrexv 3564 . . . . . . . . . . 11
3216, 30, 31sylc 60 . . . . . . . . . 10
33323exp 1195 . . . . . . . . 9
3412, 33sylan9r 658 . . . . . . . 8
3511, 34reximdai 2926 . . . . . . 7
36353adant1 1014 . . . . . 6
37 nfv 1707 . . . . . . 7
38 nfcv 2619 . . . . . . . 8
39 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11
40 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . 11
4139, 40nfoi 7960 . . . . . . . . . 10
42 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10
4341, 42nffv 5878 . . . . . . . . 9
4443nfeq2 2636 . . . . . . . 8
4538, 44nfrex 2920 . . . . . . 7
46 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . 12
47 oieq2 7959 . . . . . . . . . . . 12
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . 11
4917, 48syl5eq 2510 . . . . . . . . . 10
5049fveq1d 5873 . . . . . . . . 9
5150eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
5251rexbidv 2968 . . . . . . 7
5337, 45, 52cbvrex 3081 . . . . . 6
5436, 53syl6ib 226 . . . . 5
55 eliun 4335 . . . . 5
56 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
57 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
5856, 57op1std 6810 . . . . . . . . . 10
5958csbeq1d 3441 . . . . . . . . 9
60 oieq2 7959 . . . . . . . . 9
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8
6256, 57op2ndd 6811 . . . . . . . 8
6361, 62fveq12d 5877 . . . . . . 7
6463eqeq2d 2471 . . . . . 6
6564rexxp 5150 . . . . 5
6654, 55, 653imtr4g 270 . . . 4
6766imp 429 . . 3
688, 67wdomd 8028 . 2
69 hsmexlem.g . . 3
7069hsmexlem1 8827 . 2
716, 68, 70syl2anc 661 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  [_csb 3434  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  <.cop 4035  U_ciun 4330   class class class wbr 4452   cep 4794   con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  cfv 5593   c1st 6798   c2nd 6799  Smowsmo 7035  OrdIso`coi 7955   char 8003   cwdom 8004 This theorem is referenced by:  hsmexlem3  8829 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-smo 7036  df-recs 7061  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-oi 7956  df-har 8005  df-wdom 8006
 Copyright terms: Public domain W3C validator