Theorem hsmexlem2 8828

Description: Lemma for hsmex 8833. Bound the order type of a union of sets of ordinals, each of limited order type. Vaguely reminiscent of unictb 8971 but use of order types allows to canonically choose the sub-bijections, removing the choice requirement. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hsmexlem.f
hsmexlem.g

Assertion

Ref	Expression
hsmexlem2

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem hsmexlem2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4021	. . . . . 6
2	1	adantr 465	. . . . 5
3	2	ralimi 2850	. . . 4
4		iunss 4371	. . . 4
5	3, 4	sylibr 212	. . 3
6	5	3ad2ant3 1019	. 2
7		xpexg 6602	. . . 4
8	7	3adant3 1016	. . 3
9		nfv 1707	. . . . . . . . 9
10		nfra1 2838	. . . . . . . . 9
11	9, 10	nfan 1928	. . . . . . . 8
12		rsp 2823	. . . . . . . . 9
13		onelss 4925	. . . . . . . . . . . . . 14
14	13	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13
15	14	adantrl 715	. . . . . . . . . . . 12
16	15	3adant3 1016	. . . . . . . . . . 11
17		hsmexlem.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18	17	oismo 7986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19	1, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20	19	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16
21	20	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . 15
22	17	oif 7976	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	21, 22	jctil 537	. . . . . . . . . . . . . 14
24		dffo2 5804	. . . . . . . . . . . . . 14
25	23, 24	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13
26		dffo3 6046	. . . . . . . . . . . . . 14
27	26	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . 13
28		rsp 2823	. . . . . . . . . . . . 13
29	25, 27, 28	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12
30	29	3impia 1193	. . . . . . . . . . 11
31		ssrexv 3564	. . . . . . . . . . 11
32	16, 30, 31	sylc 60	. . . . . . . . . 10
33	32	3exp 1195	. . . . . . . . 9
34	12, 33	sylan9r 658	. . . . . . . 8
35	11, 34	reximdai 2926	. . . . . . 7
36	35	3adant1 1014	. . . . . 6
37		nfv 1707	. . . . . . 7
38		nfcv 2619	. . . . . . . 8
39		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11
40		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . 11
41	39, 40	nfoi 7960	. . . . . . . . . 10
42		nfcv 2619	. . . . . . . . . 10
43	41, 42	nffv 5878	. . . . . . . . 9
44	43	nfeq2 2636	. . . . . . . 8
45	38, 44	nfrex 2920	. . . . . . 7
46		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . . 12
47		oieq2 7959	. . . . . . . . . . . 12
48	46, 47	syl 16	. . . . . . . . . . 11
49	17, 48	syl5eq 2510	. . . . . . . . . 10
50	49	fveq1d 5873	. . . . . . . . 9
51	50	eqeq2d 2471	. . . . . . . 8
52	51	rexbidv 2968	. . . . . . 7
53	37, 45, 52	cbvrex 3081	. . . . . 6
54	36, 53	syl6ib 226	. . . . 5
55		eliun 4335	. . . . 5
56		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
57		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
58	56, 57	op1std 6810	. . . . . . . . . 10
59	58	csbeq1d 3441	. . . . . . . . 9
60		oieq2 7959	. . . . . . . . 9
61	59, 60	syl 16	. . . . . . . 8
62	56, 57	op2ndd 6811	. . . . . . . 8
63	61, 62	fveq12d 5877	. . . . . . 7
64	63	eqeq2d 2471	. . . . . 6
65	64	rexxp 5150	. . . . 5
66	54, 55, 65	3imtr4g 270	. . . 4
67	66	imp 429	. . 3
68	8, 67	wdomd 8028	. 2
69		hsmexlem.g	. . 3
70	69	hsmexlem1 8827	. 2
71	6, 68, 70	syl2anc 661	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  [_csb 3434  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  <.cop 4035  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  cep 4794  con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  `cfv 5593  c1st 6798  c2nd 6799  Smowsmo 7035  OrdIsocoi 7955  char 8003  cwdom 8004

This theorem is referenced by:  hsmexlem3  8829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-smo 7036  df-recs 7061  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-oi 7956  df-har 8005  df-wdom 8006