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Theorem hsmexlem4 8830
Description: Lemma for hsmex 8833. The core induction, establishing bounds on the order types of iterated unions of the initial set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hsmexlem4.x
hsmexlem4.h
hsmexlem4.u
hsmexlem4.s
hsmexlem4.o
Assertion
Ref Expression
hsmexlem4
Distinct variable groups:   , , ,   S, ,   , ,   , , ,   , ,   , , , , ,

Proof of Theorem hsmexlem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hsmexlem4.o . . . . . . 7
2 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
32imaeq2d 5342 . . . . . . . 8
4 oieq2 7959 . . . . . . . 8
53, 4syl 16 . . . . . . 7
61, 5syl5eq 2510 . . . . . 6
76dmeqd 5210 . . . . 5
8 fveq2 5871 . . . . 5
97, 8eleq12d 2539 . . . 4
109ralbidv 2896 . . 3
11 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
1211imaeq2d 5342 . . . . . . . 8
13 oieq2 7959 . . . . . . . 8
1412, 13syl 16 . . . . . . 7
151, 14syl5eq 2510 . . . . . 6
1615dmeqd 5210 . . . . 5
17 fveq2 5871 . . . . 5
1816, 17eleq12d 2539 . . . 4
1918ralbidv 2896 . . 3
20 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
2120imaeq2d 5342 . . . . . . . 8
22 oieq2 7959 . . . . . . . 8
2321, 22syl 16 . . . . . . 7
241, 23syl5eq 2510 . . . . . 6
2524dmeqd 5210 . . . . 5
26 fveq2 5871 . . . . 5
2725, 26eleq12d 2539 . . . 4
2827ralbidv 2896 . . 3
29 imassrn 5353 . . . . . . 7
30 rankf 8233 . . . . . . . 8
31 frn 5742 . . . . . . . 8
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7
3329, 32sstri 3512 . . . . . 6
34 vex 3112 . . . . . . . . 9
35 hsmexlem4.u . . . . . . . . . 10
3635ituni0 8819 . . . . . . . . 9
3734, 36ax-mp 5 . . . . . . . 8
3837imaeq2i 5340 . . . . . . 7
39 ffun 5738 . . . . . . . . . 10
4030, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9
41 wdomimag 8034 . . . . . . . . 9
4240, 34, 41mp2an 672 . . . . . . . 8
43 sneq 4039 . . . . . . . . . . . . 13
4443fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
4544raleqdv 3060 . . . . . . . . . . 11
46 hsmexlem4.s . . . . . . . . . . 11
4745, 46elrab2 3259 . . . . . . . . . 10
4847simprbi 464 . . . . . . . . 9
49 snex 4693 . . . . . . . . . . . 12
50 tcid 8191 . . . . . . . . . . . 12
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
52 ssnid 4058 . . . . . . . . . . 11
5351, 52sselii 3500 . . . . . . . . . 10
54 breq1 4455 . . . . . . . . . . 11
5554rspcv 3206 . . . . . . . . . 10
5653, 55ax-mp 5 . . . . . . . . 9
57 domwdom 8021 . . . . . . . . 9
5848, 56, 573syl 20 . . . . . . . 8
59 wdomtr 8022 . . . . . . . 8
6042, 58, 59sylancr 663 . . . . . . 7
6138, 60syl5eqbr 4485 . . . . . 6
62 eqid 2457 . . . . . . 7
6362hsmexlem1 8827 . . . . . 6
6433, 61, 63sylancr 663 . . . . 5
65 hsmexlem4.h . . . . . 6
6665hsmexlem7 8824 . . . . 5
6764, 66syl6eleqr 2556 . . . 4
6867rgen 2817 . . 3
69 nfra1 2838 . . . . . 6
70 nfv 1707 . . . . . 6
7169, 70nfan 1928 . . . . 5
7235ituniiun 8823 . . . . . . . . . . . . 13
7334, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
7473imaeq2i 5340 . . . . . . . . . . 11
75 imaiun 6157 . . . . . . . . . . 11
7674, 75eqtri 2486 . . . . . . . . . 10
77 oieq2 7959 . . . . . . . . . 10
7876, 77ax-mp 5 . . . . . . . . 9
7978dmeqi 5209 . . . . . . . 8
8058ad2antll 728 . . . . . . . . 9
8165hsmexlem9 8826 . . . . . . . . . 10
8281ad2antrl 727 . . . . . . . . 9
83 ssrab2 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8446, 83eqsstri 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8584sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
86 r1elssi 8244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8887sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15
89 snssi 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9034tcss 8196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9249tcel 8197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9352, 92mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9491, 93sstrd 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
95 ssralv 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9748, 96mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 sneq 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9998fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10099raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . . . . . 16
101100, 46elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . . . 15
10288, 97, 101sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14
103102adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13
104103adantll 713 . . . . . . . . . . . 12
105 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12
106 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107106fveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108107imaeq2d 5342 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109 oieq2 7959 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
111110dmeqd 5210 . . . . . . . . . . . . . 14
112111eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13
113112rspcv 3206 . . . . . . . . . . . 12
114104, 105, 113sylc 60 . . . . . . . . . . 11
115 imassrn 5353 . . . . . . . . . . . . 13
116115, 32sstri 3512 . . . . . . . . . . . 12
117 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
118117funimaex 5671 . . . . . . . . . . . . . 14
11940, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
120119elpw 4018 . . . . . . . . . . . 12
121116, 120mpbir 209 . . . . . . . . . . 11
122114, 121jctil 537 . . . . . . . . . 10
123122ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9
124 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
125 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
126124, 125hsmexlem3 8829 . . . . . . . . 9
12780, 82, 123, 126syl21anc 1227 . . . . . . . 8
12879, 127syl5eqel 2549 . . . . . . 7
12965hsmexlem8 8825 . . . . . . . 8
130129ad2antrl 727 . . . . . . 7
131128, 130eleqtrrd 2548 . . . . . 6
132131expr 615 . . . . 5
13371, 132ralrimi 2857 . . . 4
134133expcom 435 . . 3
13510, 19, 28, 68, 134finds1 6729 . 2
136135r19.21bi 2826 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cep 4794   con0 4883  succsuc 4885  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  -->wf 5589  `cfv 5593   com 6700  reccrdg 7094   cdom 7534  OrdIsocoi 7955   char 8003   cwdom 8004   ctc 8188   cr1 8201   crnk 8202
This theorem is referenced by:  hsmexlem5  8831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-smo 7036  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-oi 7956  df-har 8005  df-wdom 8006  df-tc 8189  df-r1 8203  df-rank 8204
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