Theorem hsmexlem5 8831

Description: Lemma for hsmex 8833. Combining the above constraints, along with itunitc 8822 and tcrank 8323, gives an effective constraint on the rank of . (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hsmexlem4.x
hsmexlem4.h
hsmexlem4.u
hsmexlem4.s
hsmexlem4.o

Assertion

Ref	Expression
hsmexlem5

Distinct variable groups:   ,,,   S,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,,,

Proof of Theorem hsmexlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hsmexlem4.s	. . . . . . . 8
2		ssrab2 3584	. . . . . . . 8
3	1, 2	eqsstri 3533	. . . . . . 7
4	3	sseli 3499	. . . . . 6
5		tcrank 8323	. . . . . 6
6	4, 5	syl 16	. . . . 5
7		hsmexlem4.u	. . . . . . . . 9
8	7	itunifn 8818	. . . . . . . 8
9		fniunfv 6159	. . . . . . . 8
10	8, 9	syl 16	. . . . . . 7
11	7	itunitc 8822	. . . . . . 7
12	10, 11	syl6reqr 2517	. . . . . 6
13	12	imaeq2d 5342	. . . . 5
14		imaiun 6157	. . . . . 6
15	14	a1i 11	. . . . 5
16	6, 13, 15	3eqtrd 2502	. . . 4
17		dmresi 5334	. . . 4
18	16, 17	syl6eqr 2516	. . 3
19		rankon 8234	. . . . . 6
20	16, 19	syl6eqelr 2554	. . . . 5
21		eloni 4893	. . . . 5
22		oiid 7987	. . . . 5
23	20, 21, 22	3syl 20	. . . 4
24	23	dmeqd 5210	. . 3
25	18, 24	eqtr4d 2501	. 2
26		omex 8081	. . . 4
27		wdomref 8019	. . . 4
28	26, 27	mp1i 12	. . 3
29		frfnom 7119	. . . . . . 7
30		hsmexlem4.h	. . . . . . . 8
31	30	fneq1i 5680	. . . . . . 7
32	29, 31	mpbir 209	. . . . . 6
33		fniunfv 6159	. . . . . 6
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . 5
35		fvex 5881	. . . . . . 7
36	26, 35	iunonOLD 7029	. . . . . 6
37	30	hsmexlem9 8826	. . . . . 6
38	36, 37	mprg 2820	. . . . 5
39	34, 38	eqeltrri 2542	. . . 4
40	39	a1i 11	. . 3
41		fvssunirn 5894	. . . . . 6
42		hsmexlem4.x	. . . . . . . 8
43		eqid 2457	. . . . . . . 8
44	42, 30, 7, 1, 43	hsmexlem4 8830	. . . . . . 7
45	44	ancoms 453	. . . . . 6
46	41, 45	sseldi 3501	. . . . 5
47		imassrn 5353	. . . . . . 7
48		rankf 8233	. . . . . . . 8
49		frn 5742	. . . . . . . 8
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7
51	47, 50	sstri 3512	. . . . . 6
52		ffun 5738	. . . . . . . 8
53		fvex 5881	. . . . . . . . 9
54	53	funimaex 5671	. . . . . . . 8
55	48, 52, 54	mp2b 10	. . . . . . 7
56	55	elpw 4018	. . . . . 6
57	51, 56	mpbir 209	. . . . 5
58	46, 57	jctil 537	. . . 4
59	58	ralrimiva 2871	. . 3
60		eqid 2457	. . . 4
61	43, 60	hsmexlem3 8829	. . 3
62	28, 40, 59, 61	syl21anc 1227	. 2
63	25, 62	eqeltrd 2545	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811  cvv 3109  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  cep 4794  cid 4795  Ordword 4882  con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  com 6700  reccrdg 7094  cdom 7534  OrdIsocoi 7955  char 8003  cwdom 8004  ctc 8188  cr1 8201  crnk 8202

This theorem is referenced by:  hsmexlem6  8832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-smo 7036  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-oi 7956  df-har 8005  df-wdom 8006  df-tc 8189  df-r1 8203  df-rank 8204