Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hsmexlem5 Unicode version

Theorem hsmexlem5 8831
 Description: Lemma for hsmex 8833. Combining the above constraints, along with itunitc 8822 and tcrank 8323, gives an effective constraint on the rank of . (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hsmexlem4.x
hsmexlem4.h
hsmexlem4.u
hsmexlem4.s
hsmexlem4.o
Assertion
Ref Expression
hsmexlem5
Distinct variable groups:   ,,,   S,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,,,

Proof of Theorem hsmexlem5
StepHypRef Expression
1 hsmexlem4.s . . . . . . . 8
2 ssrab2 3584 . . . . . . . 8
31, 2eqsstri 3533 . . . . . . 7
43sseli 3499 . . . . . 6
5 tcrank 8323 . . . . . 6
64, 5syl 16 . . . . 5
7 hsmexlem4.u . . . . . . . . 9
87itunifn 8818 . . . . . . . 8
9 fniunfv 6159 . . . . . . . 8
108, 9syl 16 . . . . . . 7
117itunitc 8822 . . . . . . 7
1210, 11syl6reqr 2517 . . . . . 6
1312imaeq2d 5342 . . . . 5
14 imaiun 6157 . . . . . 6
1514a1i 11 . . . . 5
166, 13, 153eqtrd 2502 . . . 4
17 dmresi 5334 . . . 4
1816, 17syl6eqr 2516 . . 3
19 rankon 8234 . . . . . 6
2016, 19syl6eqelr 2554 . . . . 5
21 eloni 4893 . . . . 5
22 oiid 7987 . . . . 5
2320, 21, 223syl 20 . . . 4
2423dmeqd 5210 . . 3
2518, 24eqtr4d 2501 . 2
26 omex 8081 . . . 4
27 wdomref 8019 . . . 4
2826, 27mp1i 12 . . 3
29 frfnom 7119 . . . . . . 7
30 hsmexlem4.h . . . . . . . 8
3130fneq1i 5680 . . . . . . 7
3229, 31mpbir 209 . . . . . 6
33 fniunfv 6159 . . . . . 6
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5
35 fvex 5881 . . . . . . 7
3626, 35iunonOLD 7029 . . . . . 6
3730hsmexlem9 8826 . . . . . 6
3836, 37mprg 2820 . . . . 5
3934, 38eqeltrri 2542 . . . 4
4039a1i 11 . . 3
41 fvssunirn 5894 . . . . . 6
42 hsmexlem4.x . . . . . . . 8
43 eqid 2457 . . . . . . . 8
4442, 30, 7, 1, 43hsmexlem4 8830 . . . . . . 7
4544ancoms 453 . . . . . 6
4641, 45sseldi 3501 . . . . 5
47 imassrn 5353 . . . . . . 7
48 rankf 8233 . . . . . . . 8
49 frn 5742 . . . . . . . 8
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . 7
5147, 50sstri 3512 . . . . . 6
52 ffun 5738 . . . . . . . 8
53 fvex 5881 . . . . . . . . 9
5453funimaex 5671 . . . . . . . 8
5548, 52, 54mp2b 10 . . . . . . 7
5655elpw 4018 . . . . . 6
5751, 56mpbir 209 . . . . 5
5846, 57jctil 537 . . . 4
5958ralrimiva 2871 . . 3
60 eqid 2457 . . . 4
6143, 60hsmexlem3 8829 . . 3
6228, 40, 59, 61syl21anc 1227 . 2
6325, 62eqeltrd 2545 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cep 4794   cid 4795  Ordword 4882   con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  |cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  cfv 5593   com 6700  reccrdg 7094   cdom 7534  OrdIsocoi 7955   char 8003   cwdom 8004   ctc 8188   cr1 8201   crnk 8202 This theorem is referenced by:  hsmexlem6  8832 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-smo 7036  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-oi 7956  df-har 8005  df-wdom 8006  df-tc 8189  df-r1 8203  df-rank 8204
 Copyright terms: Public domain W3C validator