MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpycc Unicode version

Theorem htpycc 20552
Description: Concatenate two homotopies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpycc.1
htpycc.2
htpycc.4
htpycc.5
htpycc.6
htpycc.7
htpycc.8
Assertion
Ref Expression
htpycc
Distinct variable groups:   , ,J   , ,   , ,   ,M,   , ,   , ,

Proof of Theorem htpycc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpycc.2 . 2
2 htpycc.4 . 2
3 htpycc.6 . 2
4 htpycc.1 . . 3
5 iitopon 20455 . . . . 5
65a1i 11 . . . 4
7 eqid 2443 . . . . 5
8 eqid 2443 . . . . 5
9 eqid 2443 . . . . 5
10 dfii2 20458 . . . . 5
11 0red 9387 . . . . 5
12 1red 9401 . . . . 5
13 halfre 10540 . . . . . . 7
14 0re 9386 . . . . . . . 8
15 halfgt0 10542 . . . . . . . 8
1614, 13, 15ltleii 9497 . . . . . . 7
17 1re 9385 . . . . . . . 8
18 halflt1 10543 . . . . . . . 8
1913, 17, 18ltleii 9497 . . . . . . 7
2014, 17elicc2i 11361 . . . . . . 7
2113, 16, 19, 20mpbir3an 1170 . . . . . 6
2221a1i 11 . . . . 5
23 htpycc.5 . . . . . . . . . . . 12
24 htpycc.7 . . . . . . . . . . . 12
251, 2, 23, 24htpyi 20546 . . . . . . . . . . 11
2625simprd 463 . . . . . . . . . 10
27 htpycc.8 . . . . . . . . . . . 12
281, 23, 3, 27htpyi 20546 . . . . . . . . . . 11
2928simpld 459 . . . . . . . . . 10
3026, 29eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9
3130ralrimiva 2799 . . . . . . . 8
32 oveq1 6098 . . . . . . . . . 10
33 oveq1 6098 . . . . . . . . . 10
3432, 33eqeq12d 2457 . . . . . . . . 9
3534rspccva 3072 . . . . . . . 8
3631, 35sylan 471 . . . . . . 7
3736adantrl 715 . . . . . 6
38 simprl 755 . . . . . . . . 9
3938oveq2d 6107 . . . . . . . 8
40 2cn 10392 . . . . . . . . 9
41 2ne0 10414 . . . . . . . . 9
4240, 41recidi 10062 . . . . . . . 8
4339, 42syl6eq 2491 . . . . . . 7
4443oveq2d 6107 . . . . . 6
4543oveq1d 6106 . . . . . . . 8
46 1m1e0 10390 . . . . . . . 8
4745, 46syl6eq 2491 . . . . . . 7
4847oveq2d 6107 . . . . . 6
4937, 44, 483eqtr4d 2485 . . . . 5
50 retopon 20342 . . . . . . . 8
51 iccssre 11377 . . . . . . . . 9
5214, 13, 51mp2an 672 . . . . . . . 8
53 resttopon 18765 . . . . . . . 8
5450, 52, 53mp2an 672 . . . . . . 7
5554a1i 11 . . . . . 6
5655, 1cnmpt2nd 19242 . . . . . 6
5755, 1cnmpt1st 19241 . . . . . . 7
588iihalf1cn 20504 . . . . . . . 8
5958a1i 11 . . . . . . 7
60 oveq2 6099 . . . . . . 7
6155, 1, 57, 55, 59, 60cnmpt21 19244 . . . . . 6
621, 2, 23htpycn 20545 . . . . . . 7
6362, 24sseldd 3357 . . . . . 6
6455, 1, 56, 61, 63cnmpt22f 19248 . . . . 5
65 iccssre 11377 . . . . . . . . 9
6613, 17, 65mp2an 672 . . . . . . . 8
67 resttopon 18765 . . . . . . . 8
6850, 66, 67mp2an 672 . . . . . . 7
6968a1i 11 . . . . . 6
7069, 1cnmpt2nd 19242 . . . . . 6
7169, 1cnmpt1st 19241 . . . . . . 7
729iihalf2cn 20506 . . . . . . . 8
7372a1i 11 . . . . . . 7
7460oveq1d 6106 . . . . . . 7
7569, 1, 71, 69, 73, 74cnmpt21 19244 . . . . . 6
761, 23, 3htpycn 20545 . . . . . . 7
7776, 27sseldd 3357 . . . . . 6
7869, 1, 70, 75, 77cnmpt22f 19248 . . . . 5
797, 8, 9, 10, 11, 12, 22, 1, 49, 64, 78cnmpt2pc 20500 . . . 4
806, 1, 79cnmptcom 19251 . . 3
814, 80syl5eqel 2527 . 2
82 simpr 461 . . . 4
83 0elunit 11403 . . . 4
84 simpr 461 . . . . . . . 8
8584, 16syl6eqbr 4329 . . . . . . 7
86 iftrue 3797 . . . . . . 7
8785, 86syl 16 . . . . . 6
88 simpl 457 . . . . . . 7
8984oveq2d 6107 . . . . . . . 8
90 2t0e0 10477 . . . . . . . 8
9189, 90syl6eq 2491 . . . . . . 7
9288, 91oveq12d 6109 . . . . . 6
9387, 92eqtrd 2475 . . . . 5
94 ovex 6116 . . . . 5
9593, 4, 94ovmpt2a 6221 . . . 4
9682, 83, 95sylancl 662 . . 3
9725simpld 459 . . 3
9896, 97eqtrd 2475 . 2
99 1elunit 11404 . . . 4
10013, 17ltnlei 9495 . . . . . . . . 9
10118, 100mpbi 208 . . . . . . . 8
102 simpr 461 . . . . . . . . 9
103102breq1d 4302 . . . . . . . 8
104101, 103mtbiri 303 . . . . . . 7
105 iffalse 3799 . . . . . . 7
106104, 105syl 16 . . . . . 6
107 simpl 457 . . . . . . 7
108102oveq2d 6107 . . . . . . . . . 10
109 2t1e2 10470 . . . . . . . . . 10
110108, 109syl6eq 2491 . . . . . . . . 9
111110oveq1d 6106 . . . . . . . 8
112 2m1e1 10436 . . . . . . . 8
113111, 112syl6eq 2491 . . . . . . 7
114107, 113oveq12d 6109 . . . . . 6
115106, 114eqtrd 2475 . . . . 5
116 ovex 6116 . . . . 5
117115, 4, 116ovmpt2a 6221 . . . 4
11882, 99, 117sylancl 662 . . 3
11928simprd 463 . . 3
120118, 119eqtrd 2475 . 2
1211, 2, 3, 81, 98, 120ishtpyd 20547 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1369  e.wcel 1756  A.wral 2715  C_wss 3328  ifcif 3791   class class class wbr 4292  e.cmpt 4350  rancrn 4841  `cfv 5418  (class class class)co 6091  e.cmpt2 6093   cr 9281  0cc0 9282  1c1 9283   cmul 9287   clt 9418   cle 9419   cmin 9595   cdiv 9993  2c2 10371   cioo 11300   cicc 11303   crest 14359   ctg 14376   ctopon 18499   ccn 18828   ctx 19133   cii 20451   chtpy 20539
This theorem is referenced by:  phtpycc  20563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-ii 20453  df-htpy 20542
  Copyright terms: Public domain W3C validator