Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpyco1 Unicode version

Theorem htpyco1 20250
 Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyco1.n
htpyco1.j
htpyco1.p
htpyco1.f
htpyco1.g
htpyco1.h
Assertion
Ref Expression
htpyco1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,J,   ,P,   ,,

Proof of Theorem htpyco1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyco1.j . 2
2 htpyco1.p . . 3
3 htpyco1.f . . 3
4 cnco 18574 . . 3
52, 3, 4syl2anc 646 . 2
6 htpyco1.g . . 3
7 cnco 18574 . . 3
82, 6, 7syl2anc 646 . 2
9 htpyco1.n . . 3
10 iitopon 20155 . . . . 5
1110a1i 11 . . . 4
121, 11cnmpt1st 18945 . . . . 5
131, 11, 12, 2cnmpt21f 18949 . . . 4
141, 11cnmpt2nd 18946 . . . 4
15 cntop2 18549 . . . . . . . 8
162, 15syl 16 . . . . . . 7
17 eqid 2422 . . . . . . . 8
1817toptopon 18242 . . . . . . 7
1916, 18sylib 190 . . . . . 6
2019, 3, 6htpycn 20245 . . . . 5
21 htpyco1.h . . . . 5
2220, 21sseldd 3334 . . . 4
231, 11, 13, 14, 22cnmpt22f 18952 . . 3
249, 23syl5eqel 2506 . 2
25 cnf2 18557 . . . . . . 7
261, 19, 2, 25syl3anc 1203 . . . . . 6
2726ffvelrnda 5813 . . . . 5
2819, 3, 6, 21htpyi 20246 . . . . 5
2927, 28syldan 460 . . . 4
3029simpld 449 . . 3
31 simpr 451 . . . 4
32 0elunit 11347 . . . 4
33 fveq2 5661 . . . . . 6
34 id 21 . . . . . 6
3533, 34oveqan12d 6080 . . . . 5
36 ovex 6086 . . . . 5
3735, 9, 36ovmpt2a 6191 . . . 4
3831, 32, 37sylancl 647 . . 3
39 fvco3 5738 . . . 4
4026, 39sylan 461 . . 3
4130, 38, 403eqtr4d 2464 . 2
4229simprd 453 . . 3
43 1elunit 11348 . . . 4
44 id 21 . . . . . 6
4533, 44oveqan12d 6080 . . . . 5
46 ovex 6086 . . . . 5
4745, 9, 46ovmpt2a 6191 . . . 4
4831, 43, 47sylancl 647 . . 3
49 fvco3 5738 . . . 4
5026, 49sylan 461 . . 3
5142, 48, 503eqtr4d 2464 . 2
521, 5, 8, 24, 41, 51ishtpyd 20247 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  U.cuni 4066  o.ccom 4815  -->wf 5386  cfv 5390  (class class class)co 6061  e.cmpt2 6063  0cc0 9228  1`c1 9229   cicc 11248   ctop 18202   ctopon 18203   ccn 18532   ctx 18837   cii 20151   chtpy 20239 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-map 7177  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-sup 7638  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xneg 11034  df-xadd 11035  df-xmul 11036  df-icc 11252  df-seq 11748  df-exp 11807  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-topgen 14322  df-psmet 17519  df-xmet 17520  df-met 17521  df-bl 17522  df-mopn 17523  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-cn 18535  df-tx 18839  df-ii 20153  df-htpy 20242
 Copyright terms: Public domain W3C validator