MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpyco2 Unicode version

Theorem htpyco2 20950
Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyco2.f
htpyco2.g
htpyco2.p
htpyco2.h
Assertion
Ref Expression
htpyco2

Proof of Theorem htpyco2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyco2.f . . . 4
2 cntop1 19243 . . . 4
31, 2syl 16 . . 3
4 eqid 2454 . . . 4
54toptopon 18937 . . 3
63, 5sylib 196 . 2
7 htpyco2.p . . 3
8 cnco 19269 . . 3
91, 7, 8syl2anc 661 . 2
10 htpyco2.g . . 3
11 cnco 19269 . . 3
1210, 7, 11syl2anc 661 . 2
136, 1, 10htpycn 20944 . . . 4
14 htpyco2.h . . . 4
1513, 14sseldd 3471 . . 3
16 cnco 19269 . . 3
1715, 7, 16syl2anc 661 . 2
186, 1, 10, 14htpyi 20945 . . . . 5
1918simpld 459 . . . 4
2019fveq2d 5817 . . 3
21 simpr 461 . . . . . 6
22 0elunit 11548 . . . . . 6
23 opelxpi 4988 . . . . . 6
2421, 22, 23sylancl 662 . . . . 5
25 iitopon 20854 . . . . . . . 8
26 txtopon 19563 . . . . . . . 8
276, 25, 26sylancl 662 . . . . . . 7
28 cntop2 19244 . . . . . . . . 9
291, 28syl 16 . . . . . . . 8
30 eqid 2454 . . . . . . . . 9
3130toptopon 18937 . . . . . . . 8
3229, 31sylib 196 . . . . . . 7
33 cnf2 19252 . . . . . . 7
3427, 32, 15, 33syl3anc 1219 . . . . . 6
35 fvco3 5891 . . . . . 6
3634, 35sylan 471 . . . . 5
3724, 36syldan 470 . . . 4
38 df-ov 6225 . . . 4
39 df-ov 6225 . . . . 5
4039fveq2i 5816 . . . 4
4137, 38, 403eqtr4g 2520 . . 3
424, 30cnf 19249 . . . . 5
431, 42syl 16 . . . 4
44 fvco3 5891 . . . 4
4543, 44sylan 471 . . 3
4620, 41, 453eqtr4d 2505 . 2
4718simprd 463 . . . 4
4847fveq2d 5817 . . 3
49 1elunit 11549 . . . . . 6
50 opelxpi 4988 . . . . . 6
5121, 49, 50sylancl 662 . . . . 5
52 fvco3 5891 . . . . . 6
5334, 52sylan 471 . . . . 5
5451, 53syldan 470 . . . 4
55 df-ov 6225 . . . 4
56 df-ov 6225 . . . . 5
5756fveq2i 5816 . . . 4
5854, 55, 573eqtr4g 2520 . . 3
594, 30cnf 19249 . . . . 5
6010, 59syl 16 . . . 4
61 fvco3 5891 . . . 4
6260, 61sylan 471 . . 3
6348, 58, 623eqtr4d 2505 . 2
646, 9, 12, 17, 46, 63ishtpyd 20946 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  <.cop 3999  U.cuni 4208  X.cxp 4955  o.ccom 4961  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222  0cc0 9419  1c1 9420   cicc 11442   ctop 18897   ctopon 18898   ccn 19227   ctx 19532   cii 20850   chtpy 20938
This theorem is referenced by:  phtpyco2  20961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-er 7235  df-map 7350  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-sup 7827  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-xneg 11228  df-xadd 11229  df-xmul 11230  df-icc 11446  df-seq 11964  df-exp 12023  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-topgen 14541  df-psmet 18002  df-xmet 18003  df-met 18004  df-bl 18005  df-mopn 18006  df-top 18902  df-bases 18904  df-topon 18905  df-cn 19230  df-tx 19534  df-ii 20852  df-htpy 20941
  Copyright terms: Public domain W3C validator