HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmul0or Unicode version

Theorem hvmul0or 22563
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmul0or

Proof of Theorem hvmul0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2612 . . . . 5
2 oveq2 6141 . . . . . . . 8
32ad2antlr 709 . . . . . . 7
4 recid2 9748 . . . . . . . . . . 11
54oveq1d 6148 . . . . . . . . . 10
65adantlr 697 . . . . . . . . 9
7 reccl 9740 . . . . . . . . . . 11
87adantlr 697 . . . . . . . . . 10
9 simpll 732 . . . . . . . . . 10
10 simplr 733 . . . . . . . . . 10
11 ax-hvmulass 22546 . . . . . . . . . 10
128, 9, 10, 11syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
13 ax-hvmulid 22545 . . . . . . . . . 10
1413ad2antlr 709 . . . . . . . . 9
156, 12, 143eqtr3d 2487 . . . . . . . 8
1615adantlr 697 . . . . . . 7
17 hvmul0 22562 . . . . . . . . . 10
187, 17syl 16 . . . . . . . . 9
1918adantlr 697 . . . . . . . 8
2019adantlr 697 . . . . . . 7
213, 16, 203eqtr3d 2487 . . . . . 6
2221ex 425 . . . . 5
231, 22syl5bir 211 . . . 4
2423orrd 369 . . 3
2524ex 425 . 2
26 ax-hvmul0 22549 . . . . 5
27 oveq1 6140 . . . . . 6
2827eqeq1d 2455 . . . . 5
2926, 28syl5ibrcom 215 . . . 4
3029adantl 454 . . 3
31 hvmul0 22562 . . . . 5
32 oveq2 6141 . . . . . 6
3332eqeq1d 2455 . . . . 5
3431, 33syl5ibrcom 215 . . . 4
3534adantr 453 . . 3
3630, 35jaod 371 . 2
3725, 36impbid 185 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 359  /\wa 360  =wceq 1654  e.wcel 1728  =/=wne 2610  (class class class)co 6133   cc 9043  0cc0 9045  1c1 9046   cmul 9050   cdiv 9732   chil 22458   csm 22460   c0v 22463
This theorem is referenced by:  hvmulcan  22610  hvmulcan2  22611  nmlnop0iALT  23534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1955  ax-ext 2428  ax-sep 4368  ax-nul 4376  ax-pow 4420  ax-pr 4446  ax-un 4746  ax-resscn 9102  ax-1cn 9103  ax-icn 9104  ax-addcl 9105  ax-addrcl 9106  ax-mulcl 9107  ax-mulrcl 9108  ax-mulcom 9109  ax-addass 9110  ax-mulass 9111  ax-distr 9112  ax-i2m1 9113  ax-1ne0 9114  ax-1rid 9115  ax-rnegex 9116  ax-rrecex 9117  ax-cnre 9118  ax-pre-lttri 9119  ax-pre-lttrn 9120  ax-pre-ltadd 9121  ax-pre-mulgt0 9122  ax-hv0cl 22542  ax-hvmulid 22545  ax-hvmulass 22546  ax-hvmul0 22549
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2296  df-mo 2297  df-clab 2434  df-cleq 2440  df-clel 2443  df-nfc 2572  df-ne 2612  df-nel 2613  df-ral 2721  df-rex 2722  df-reu 2723  df-rmo 2724  df-rab 2725  df-v 2971  df-sbc 3175  df-csb 3275  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3621  df-if 3770  df-pw 3832  df-sn 3851  df-pr 3852  df-op 3854  df-uni 4048  df-br 4248  df-opab 4306  df-mpt 4307  df-id 4543  df-po 4548  df-so 4549  df-xp 4929  df-rel 4930  df-cnv 4931  df-co 4932  df-dm 4933  df-rn 4934  df-res 4935  df-ima 4936  df-iota 5468  df-fun 5507  df-fn 5508  df-f 5509  df-f1 5510  df-fo 5511  df-f1o 5512  df-fv 5513  df-ov 6136  df-oprab 6137  df-mpt2 6138  df-riota 6603  df-er 6958  df-en 7163  df-dom 7164  df-sdom 7165  df-pnf 9177  df-mnf 9178  df-xr 9179  df-ltxr 9180  df-le 9181  df-sub 9348  df-neg 9349  df-div 9733
  Copyright terms: Public domain W3C validator