HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmul0or Unicode version

Theorem hvmul0or 23549
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmul0or

Proof of Theorem hvmul0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2654 . . . . 5
2 oveq2 6111 . . . . . . . 8
32ad2antlr 709 . . . . . . 7
4 recid2 9880 . . . . . . . . . . 11
54oveq1d 6118 . . . . . . . . . 10
65adantlr 697 . . . . . . . . 9
7 reccl 9872 . . . . . . . . . . 11
87adantlr 697 . . . . . . . . . 10
9 simpll 732 . . . . . . . . . 10
10 simplr 733 . . . . . . . . . 10
11 ax-hvmulass 23531 . . . . . . . . . 10
128, 9, 10, 11syl3anc 1192 . . . . . . . . 9
13 ax-hvmulid 23530 . . . . . . . . . 10
1413ad2antlr 709 . . . . . . . . 9
156, 12, 143eqtr3d 2529 . . . . . . . 8
1615adantlr 697 . . . . . . 7
17 hvmul0 23548 . . . . . . . . . 10
187, 17syl 16 . . . . . . . . 9
1918adantlr 697 . . . . . . . 8
2019adantlr 697 . . . . . . 7
213, 16, 203eqtr3d 2529 . . . . . 6
2221ex 425 . . . . 5
231, 22syl5bir 211 . . . 4
2423orrd 369 . . 3
2524ex 425 . 2
26 ax-hvmul0 23534 . . . . 5
27 oveq1 6110 . . . . . 6
2827eqeq1d 2497 . . . . 5
2926, 28syl5ibrcom 215 . . . 4
3029adantl 454 . . 3
31 hvmul0 23548 . . . . 5
32 oveq2 6111 . . . . . 6
3332eqeq1d 2497 . . . . 5
3431, 33syl5ibrcom 215 . . . 4
3534adantr 453 . . 3
3630, 35jaod 371 . 2
3725, 36impbid 185 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 359  /\wa 360  =wceq 1670  e.wcel 1732  =/=wne 2652  (class class class)co 6103   cc 9159  0cc0 9161  1c1 9162   cmul 9166   cdiv 9864   chil 23443   csm 23445   c0v 23448
This theorem is referenced by:  hvmulcan  23596  hvmulcan2  23597  nmlnop0iALT  24521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1570  ax-4 1581  ax-5 1644  ax-6 1685  ax-7 1705  ax-8 1734  ax-9 1736  ax-10 1751  ax-11 1756  ax-12 1768  ax-13 1955  ax-ext 2470  ax-sep 4439  ax-nul 4447  ax-pow 4493  ax-pr 4554  ax-un 6382  ax-resscn 9218  ax-1cn 9219  ax-icn 9220  ax-addcl 9221  ax-addrcl 9222  ax-mulcl 9223  ax-mulrcl 9224  ax-mulcom 9225  ax-addass 9226  ax-mulass 9227  ax-distr 9228  ax-i2m1 9229  ax-1ne0 9230  ax-1rid 9231  ax-rnegex 9232  ax-rrecex 9233  ax-cnre 9234  ax-pre-lttri 9235  ax-pre-lttrn 9236  ax-pre-ltadd 9237  ax-pre-mulgt0 9238  ax-hv0cl 23527  ax-hvmulid 23530  ax-hvmulass 23531  ax-hvmul0 23534
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1338  df-ex 1566  df-nf 1569  df-sb 1677  df-eu 2317  df-mo 2318  df-clab 2476  df-cleq 2482  df-clel 2485  df-nfc 2614  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2764  df-rex 2765  df-reu 2766  df-rmo 2767  df-rab 2768  df-v 3017  df-sbc 3225  df-csb 3326  df-dif 3368  df-un 3370  df-in 3372  df-ss 3379  df-nul 3674  df-if 3826  df-pw 3895  df-sn 3915  df-pr 3916  df-op 3918  df-uni 4118  df-br 4319  df-opab 4377  df-mpt 4378  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4868  df-rel 4869  df-cnv 4870  df-co 4871  df-dm 4872  df-rn 4873  df-res 4874  df-ima 4875  df-iota 5401  df-fun 5440  df-fn 5441  df-f 5442  df-f1 5443  df-fo 5444  df-f1o 5445  df-fv 5446  df-riota 6062  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-er 7067  df-en 7274  df-dom 7275  df-sdom 7276  df-pnf 9299  df-mnf 9300  df-xr 9301  df-ltxr 9302  df-le 9303  df-sub 9474  df-neg 9475  df-div 9865
  Copyright terms: Public domain W3C validator