MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1faddlem Unicode version

Theorem i1faddlem 21571
Description: Decompose the preimage of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fadd.1
i1fadd.2
Assertion
Ref Expression
i1faddlem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem i1faddlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1fadd.1 . . . . . . . . 9
2 i1ff 21554 . . . . . . . . 9
31, 2syl 16 . . . . . . . 8
4 ffn 5679 . . . . . . . 8
53, 4syl 16 . . . . . . 7
6 i1fadd.2 . . . . . . . . 9
7 i1ff 21554 . . . . . . . . 9
86, 7syl 16 . . . . . . . 8
9 ffn 5679 . . . . . . . 8
108, 9syl 16 . . . . . . 7
11 reex 9510 . . . . . . . 8
1211a1i 11 . . . . . . 7
13 inidm 3673 . . . . . . 7
145, 10, 12, 12, 13offn 6464 . . . . . 6
1514adantr 465 . . . . 5
16 fniniseg 5947 . . . . 5
1715, 16syl 16 . . . 4
1810ad2antrr 725 . . . . . . . 8
19 simprl 755 . . . . . . . 8
20 fnfvelrn 5963 . . . . . . . 8
2118, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . 7
22 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12
23 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . 14
24 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . 14
255, 10, 12, 12, 13, 23, 24ofval 6462 . . . . . . . . . . . . 13
2625ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . 12
2722, 26eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . 11
2827oveq1d 6237 . . . . . . . . . 10
29 ax-resscn 9476 . . . . . . . . . . . . . 14
30 fss 5687 . . . . . . . . . . . . . 14
313, 29, 30sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
3332, 19ffvelrnd 5967 . . . . . . . . . . 11
34 fss 5687 . . . . . . . . . . . . . 14
358, 29, 34sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
3736, 19ffvelrnd 5967 . . . . . . . . . . 11
3833, 37pncand 9857 . . . . . . . . . 10
3928, 38eqtr2d 2496 . . . . . . . . 9
405ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
41 fniniseg 5947 . . . . . . . . . 10
4240, 41syl 16 . . . . . . . . 9
4319, 39, 42mpbir2and 913 . . . . . . . 8
44 eqidd 2455 . . . . . . . . 9
45 fniniseg 5947 . . . . . . . . . 10
4618, 45syl 16 . . . . . . . . 9
4719, 44, 46mpbir2and 913 . . . . . . . 8
4843, 47elind 3654 . . . . . . 7
49 oveq2 6230 . . . . . . . . . . . 12
5049sneqd 4005 . . . . . . . . . . 11
5150imaeq2d 5288 . . . . . . . . . 10
52 sneq 4003 . . . . . . . . . . 11
5352imaeq2d 5288 . . . . . . . . . 10
5451, 53ineq12d 3667 . . . . . . . . 9
5554eleq2d 2524 . . . . . . . 8
5655rspcev 3182 . . . . . . 7
5721, 48, 56syl2anc 661 . . . . . 6
5857ex 434 . . . . 5
59 elin 3653 . . . . . . 7
605adantr 465 . . . . . . . . . 10
61 fniniseg 5947 . . . . . . . . . 10
6260, 61syl 16 . . . . . . . . 9
6310adantr 465 . . . . . . . . . 10
64 fniniseg 5947 . . . . . . . . . 10
6563, 64syl 16 . . . . . . . . 9
6662, 65anbi12d 710 . . . . . . . 8
67 anandi 824 . . . . . . . . 9
68 simprl 755 . . . . . . . . . . 11
6925ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . 12
70 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . 13
71 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . 13
7270, 71oveq12d 6240 . . . . . . . . . . . 12
73 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13
7435ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
7574, 68ffvelrnd 5967 . . . . . . . . . . . . . 14
7671, 75eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . . . 13
7773, 76npcand 9860 . . . . . . . . . . . 12
7869, 72, 773eqtrd 2499 . . . . . . . . . . 11
7968, 78jca 532 . . . . . . . . . 10
8079ex 434 . . . . . . . . 9
8167, 80syl5bir 218 . . . . . . . 8
8266, 81sylbid 215 . . . . . . 7
8359, 82syl5bi 217 . . . . . 6
8483rexlimdvw 2953 . . . . 5
8558, 84impbid 191 . . . 4
8617, 85bitrd 253 . . 3
87 eliun 4292 . . 3
8886, 87syl6bbr 263 . 2
8988eqrdv 2451 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  E.wrex 2801   cvv 3081  i^icin 3441  C_wss 3442  {csn 3993  U_ciun 4288  `'ccnv 4956  domcdm 4957  rancrn 4958  "cima 4960  Fnwfn 5532  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222  oFcof 6451   cc 9417   cr 9418   caddc 9422   cmin 9732   citg1 21495
This theorem is referenced by:  i1fadd  21573  itg1addlem4  21577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-ltxr 9560  df-sub 9734  df-sum 13322  df-itg1 21500
  Copyright terms: Public domain W3C validator