Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasgrp Unicode version

Theorem imasgrp 15608
 Description: The image structure of a group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasgrp.u
imasgrp.v
imasgrp.p
imasgrp.f
imasgrp.e
imasgrp.r
imasgrp.z
Assertion
Ref Expression
imasgrp
Distinct variable groups:   ,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,

Proof of Theorem imasgrp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasgrp.u . 2
2 imasgrp.v . 2
3 imasgrp.p . 2
4 imasgrp.f . 2
5 imasgrp.e . 2
6 imasgrp.r . 2
763ad2ant1 994 . . . 4
8 simp2 974 . . . . 5
923ad2ant1 994 . . . . 5
108, 9eleqtrd 2498 . . . 4
11 simp3 975 . . . . 5
1211, 9eleqtrd 2498 . . . 4
13 eqid 2422 . . . . 5
14 eqid 2422 . . . . 5
1513, 14grpcl 15488 . . . 4
167, 10, 12, 15syl3anc 1203 . . 3
1733ad2ant1 994 . . . 4
1817oveqd 6078 . . 3
1916, 18, 93eltr4d 2503 . 2
206adantr 455 . . . . 5
21103adant3r3 1183 . . . . 5
22123adant3r3 1183 . . . . 5
23 simpr3 981 . . . . . 6
242adantr 455 . . . . . 6
2523, 24eleqtrd 2498 . . . . 5
2613, 14grpass 15489 . . . . 5
2720, 21, 22, 25, 26syl13anc 1205 . . . 4
283adantr 455 . . . . 5
29183adant3r3 1183 . . . . 5
30 eqidd 2423 . . . . 5
3128, 29, 30oveq123d 6082 . . . 4
32 eqidd 2423 . . . . 5
3328oveqd 6078 . . . . 5
3428, 32, 33oveq123d 6082 . . . 4
3527, 31, 343eqtr4d 2464 . . 3
3635fveq2d 5665 . 2
37 imasgrp.z . . . . 5
3813, 37grpidcl 15503 . . . 4
396, 38syl 16 . . 3
4039, 2eleqtrrd 2499 . 2
413adantr 455 . . . . 5
4241oveqd 6078 . . . 4
436adantr 455 . . . . 5
442eleq2d 2489 . . . . . 6
4544biimpa 474 . . . . 5
4613, 14, 37grplid 15505 . . . . 5
4743, 45, 46syl2anc 646 . . . 4
4842, 47eqtrd 2454 . . 3
4948fveq2d 5665 . 2
50 eqid 2422 . . . . 5
5113, 50grpinvcl 15520 . . . 4
5243, 45, 51syl2anc 646 . . 3
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  -onto->wfo 5388  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cbs 14114   cplusg 14178   c0g 14318   cimas 14382   cgrp 15350   cminusg 15351 This theorem is referenced by:  imasgrpf1  15609  imasrng  16535  imasgim  29128 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-sup 7638  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-fz 11382  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-0g 14320  df-imas 14386  df-mnd 15355  df-grp 15482  df-minusg 15483