MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasmnd2 Unicode version

Theorem imasmnd2 15398
Description: The image structure of a monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasmnd.u
imasmnd.v
imasmnd.p
imasmnd.f
imasmnd.e
imasmnd2.r
imasmnd2.1
imasmnd2.2
imasmnd2.3
imasmnd2.4
imasmnd2.5
Assertion
Ref Expression
imasmnd2
Distinct variable groups:   , , , ,   , , , , , , ,   , , , , , , ,   , , ,   , ,   , , , , , , ,   , ,   , , , , , , ,

Proof of Theorem imasmnd2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasmnd.u . . . 4
2 imasmnd.v . . . 4
3 imasmnd.f . . . 4
4 imasmnd2.r . . . 4
51, 2, 3, 4imasbas 14390 . . 3
6 eqidd 2423 . . 3
7 imasmnd.e . . . . 5
8 imasmnd.p . . . . 5
9 eqid 2422 . . . . 5
10 imasmnd2.1 . . . . . . 7
11103expb 1173 . . . . . 6
1211caovclg 6225 . . . . 5
133, 7, 1, 2, 4, 8, 9, 12imasaddf 14411 . . . 4
14 fovrn 6203 . . . 4
1513, 14syl3an1 1236 . . 3
16 forn 5593 . . . . . . . . . 10
173, 16syl 16 . . . . . . . . 9
1817eleq2d 2489 . . . . . . . 8
1917eleq2d 2489 . . . . . . . 8
2017eleq2d 2489 . . . . . . . 8
2118, 19, 203anbi123d 1274 . . . . . . 7
22 fofn 5592 . . . . . . . . 9
233, 22syl 16 . . . . . . . 8
24 fvelrnb 5709 . . . . . . . . 9
25 fvelrnb 5709 . . . . . . . . 9
26 fvelrnb 5709 . . . . . . . . 9
2724, 25, 263anbi123d 1274 . . . . . . . 8
2823, 27syl 16 . . . . . . 7
2921, 28bitr3d 249 . . . . . 6
30 3reeanv 2868 . . . . . 6
3129, 30syl6bbr 257 . . . . 5
32 imasmnd2.2 . . . . . . . . . . . 12
33 simpl 447 . . . . . . . . . . . . 13
34103adant3r3 1183 . . . . . . . . . . . . 13
35 simpr3 981 . . . . . . . . . . . . 13
363, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 14410 . . . . . . . . . . . . 13
3733, 34, 35, 36syl3anc 1203 . . . . . . . . . . . 12
38 simpr1 979 . . . . . . . . . . . . 13
3912caovclg 6225 . . . . . . . . . . . . . 14
40393adantr1 1132 . . . . . . . . . . . . 13
413, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 14410 . . . . . . . . . . . . 13
4233, 38, 40, 41syl3anc 1203 . . . . . . . . . . . 12
4332, 37, 423eqtr4d 2464 . . . . . . . . . . 11
443, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 14410 . . . . . . . . . . . . 13
45443adant3r3 1183 . . . . . . . . . . . 12
4645oveq1d 6076 . . . . . . . . . . 11
473, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 14410 . . . . . . . . . . . . 13
48473adant3r1 1181 . . . . . . . . . . . 12
4948oveq2d 6077 . . . . . . . . . . 11
5043, 46, 493eqtr4d 2464 . . . . . . . . . 10
51 simp1 973 . . . . . . . . . . . . 13
52 simp2 974 . . . . . . . . . . . . 13
5351, 52oveq12d 6079 . . . . . . . . . . . 12
54 simp3 975 . . . . . . . . . . . 12
5553, 54oveq12d 6079 . . . . . . . . . . 11
5652, 54oveq12d 6079 . . . . . . . . . . . 12
5751, 56oveq12d 6079 . . . . . . . . . . 11
5855, 57eqeq12d 2436 . . . . . . . . . 10
5950, 58syl5ibcom 214 . . . . . . . . 9
60593exp2 1190 . . . . . . . 8
6160imp32 426 . . . . . . 7
6261rexlimdv 2819 . . . . . 6
6362rexlimdvva 2827 . . . . 5
6431, 63sylbid 209 . . . 4
6564imp 422 . . 3
66 fof 5590 . . . . 5
673, 66syl 16 . . . 4
68 imasmnd2.3 . . . 4
6967, 68ffvelrnd 5814 . . 3
7023, 24syl 16 . . . . . 6
7118, 70bitr3d 249 . . . . 5
72 simpl 447 . . . . . . . . 9
7368adantr 455 . . . . . . . . 9
74 simpr 451 . . . . . . . . 9
753, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 14410 . . . . . . . . 9
7672, 73, 74, 75syl3anc 1203 . . . . . . . 8
77 imasmnd2.4 . . . . . . . 8
7876, 77eqtrd 2454 . . . . . . 7
79 oveq2 6069 . . . . . . . 8
80 id 21 . . . . . . . 8
8179, 80eqeq12d 2436 . . . . . . 7
8278, 81syl5ibcom 214 . . . . . 6
8382rexlimdva 2820 . . . . 5
8471, 83sylbid 209 . . . 4
8584imp 422 . . 3
863, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 14410 . . . . . . . . 9
8773, 86mpd3an3 1300 . . . . . . . 8
88 imasmnd2.5 . . . . . . . 8
8987, 88eqtrd 2454 . . . . . . 7
90 oveq1 6068 . . . . . . . 8
9190, 80eqeq12d 2436 . . . . . . 7
9289, 91syl5ibcom 214 . . . . . 6
9392rexlimdva 2820 . . . . 5
9471, 93sylbid 209 . . . 4
9594imp 422 . . 3
965, 6, 15, 65, 69, 85, 95ismndd 15384 . 2
975, 6, 69, 85, 95grpidd 15383 . 2
9896, 97jca 522 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  E.wrex 2695  X.cxp 4809  rancrn 4812  Fnwfn 5385  -->wf 5386  -onto->wfo 5388  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cbs 14114   cplusg 14178   c0g 14318   cimas 14382   cmnd 15349
This theorem is referenced by:  imasmnd  15399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-sup 7638  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-fz 11382  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-0g 14320  df-imas 14386  df-mnd 15355
  Copyright terms: Public domain W3C validator