Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invoppggim Unicode version

Theorem invoppggim 15961
 Description: The inverse is an antiautomorphism on any group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
invoppggim.o
invoppggim.i
Assertion
Ref Expression
invoppggim

Proof of Theorem invoppggim
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2450 . . 3
2 invoppggim.o . . . 4
32, 1oppgbas 15952 . . 3
4 eqid 2450 . . 3
5 eqid 2450 . . 3
6 id 22 . . 3
72oppggrp 15958 . . 3
8 invoppggim.i . . . 4
91, 8grpinvf 15668 . . 3
101, 4, 8grpinvadd 15690 . . . . 5
11103expb 1189 . . . 4
124, 2, 5oppgplus 15950 . . . 4
1311, 12syl6eqr 2508 . . 3
141, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 13isghmd 15842 . 2
151, 8, 6grpinvf1o 15682 . 2
161, 3isgim 15876 . 2
1714, 15, 16sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1757  -1-1-onto->wf1o 5499  `cfv 5500  (class class class)co 6174   cbs 14260   cplusg 14324   cgrp 15496   cminusg 15497   cghm 15830   cgim 15871   coppg 15946 This theorem is referenced by:  oppggic  15962  symgtrinv  16064  gsumzinv  16531  gsumzinvOLD  16532 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4485  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456  ax-cnex 9423  ax-resscn 9424  ax-1cn 9425  ax-icn 9426  ax-addcl 9427  ax-addrcl 9428  ax-mulcl 9429  ax-mulrcl 9430  ax-mulcom 9431  ax-addass 9432  ax-mulass 9433  ax-distr 9434  ax-i2m1 9435  ax-1ne0 9436  ax-1rid 9437  ax-rnegex 9438  ax-rrecex 9439  ax-cnre 9440  ax-pre-lttri 9441  ax-pre-lttrn 9442  ax-pre-ltadd 9443  ax-pre-mulgt0 9444 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-pss 3426  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4174  df-iun 4255  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4468  df-eprel 4714  df-id 4718  df-po 4723  df-so 4724  df-fr 4761  df-we 4763  df-ord 4804  df-on 4805  df-lim 4806  df-suc 4807  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-riota 6135  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-om 6561  df-tpos 6829  df-recs 6916  df-rdg 6950  df-er 7185  df-en 7395  df-dom 7396  df-sdom 7397  df-pnf 9505  df-mnf 9506  df-xr 9507  df-ltxr 9508  df-le 9509  df-sub 9682  df-neg 9683  df-nn 10408  df-2 10465  df-ndx 14263  df-slot 14264  df-base 14265  df-sets 14266  df-plusg 14337  df-0g 14466  df-mnd 15501  df-grp 15631  df-minusg 15632  df-ghm 15831  df-gim 15873  df-oppg 15947
 Copyright terms: Public domain W3C validator