MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipblnfi Unicode version

Theorem ipblnfi 23935
Description: A function generated by varying the first argument of an inner product (with its second argument a fixed vector ) is a bounded linear functional, i.e. a bounded linear operator from the vector space to . (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipblnfi.1
ipblnfi.7
ipblnfi.9
ipblnfi.c
ipblnfi.l
ipblnfi.f
Assertion
Ref Expression
ipblnfi
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,P

Proof of Theorem ipblnfi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipblnfi.9 . . . . . . 7
21phnvi 23895 . . . . . 6
3 ipblnfi.1 . . . . . . 7
4 ipblnfi.7 . . . . . . 7
53, 4dipcl 23789 . . . . . 6
62, 5mp3an1 1286 . . . . 5
76ancoms 443 . . . 4
8 ipblnfi.f . . . 4
97, 8fmptd 5837 . . 3
10 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
113, 10nvscl 23685 . . . . . . . . . 10
122, 11mp3an1 1286 . . . . . . . . 9
1312ad2ant2lr 732 . . . . . . . 8
14 simprr 741 . . . . . . . 8
15 simpll 738 . . . . . . . 8
16 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
173, 16, 4dipdir 23921 . . . . . . . . 9
181, 17mpan 655 . . . . . . . 8
1913, 14, 15, 18syl3anc 1203 . . . . . . 7
20 simplr 739 . . . . . . . . 9
21 simprl 740 . . . . . . . . 9
223, 16, 10, 4, 1ipassi 23920 . . . . . . . . 9
2320, 21, 15, 22syl3anc 1203 . . . . . . . 8
2423oveq1d 6076 . . . . . . 7
2519, 24eqtrd 2454 . . . . . 6
2612adantll 698 . . . . . . . . 9
273, 16nvgcl 23677 . . . . . . . . . 10
282, 27mp3an1 1286 . . . . . . . . 9
2926, 28sylan 461 . . . . . . . 8
3029anasss 632 . . . . . . 7
31 oveq1 6068 . . . . . . . 8
32 ovex 6086 . . . . . . . 8
3331, 8, 32fvmpt 5744 . . . . . . 7
3430, 33syl 16 . . . . . 6
35 oveq1 6068 . . . . . . . . . 10
36 ovex 6086 . . . . . . . . . 10
3735, 8, 36fvmpt 5744 . . . . . . . . 9
3837ad2antrl 712 . . . . . . . 8
3938oveq2d 6077 . . . . . . 7
40 oveq1 6068 . . . . . . . . 9
41 ovex 6086 . . . . . . . . 9
4240, 8, 41fvmpt 5744 . . . . . . . 8
4342ad2antll 713 . . . . . . 7
4439, 43oveq12d 6079 . . . . . 6
4525, 34, 443eqtr4d 2464 . . . . 5
4645ralrimivva 2787 . . . 4
4746ralrimiva 2778 . . 3
48 ipblnfi.c . . . . 5
4948cnnv 23746 . . . 4
5048cnnvba 23748 . . . . 5
5148cnnvg 23747 . . . . 5
5248cnnvs 23750 . . . . 5
53 eqid 2422 . . . . 5
543, 50, 16, 51, 10, 52, 53islno 23832 . . . 4
552, 49, 54mp2an 657 . . 3
569, 47, 55sylanbrc 649 . 2
57 eqid 2422 . . . 4
583, 57nvcl 23726 . . 3
592, 58mpan 655 . 2
603, 57, 4, 1sii 23933 . . . . 5
6160ancoms 443 . . . 4
6237adantl 456 . . . . 5
6362fveq2d 5665 . . . 4
6459recnd 9358 . . . . 5
653, 57nvcl 23726 . . . . . . 7
662, 65mpan 655 . . . . . 6
6766recnd 9358 . . . . 5
68 mulcom 9314 . . . . 5
6964, 67, 68syl2an 467 . . . 4
7061, 63, 693brtr4d 4297 . . 3
7170ralrimiva 2778 . 2
7248cnnvnm 23751 . . 3
73 ipblnfi.l . . 3
743, 57, 72, 53, 73, 2, 49blo3i 23881 . 2
7556, 59, 71, 74syl3anc 1203 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  A.wral 2694  <.cop 3856   class class class wbr 4267  e.cmpt 4325  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cc 9226   cr 9227   caddc 9231   cmul 9233   cle 9365   cabs 12664   cnv 23641   cpv 23642   cba 23643   cns 23644   cnmcv 23647   cdip 23774   clno 23819   cblo 23821   ccphlo 23891
This theorem is referenced by:  htthlem  23998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306  ax-addf 9307  ax-mulf 9308
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-fi 7608  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xneg 11034  df-xadd 11035  df-xmul 11036  df-ioo 11249  df-icc 11252  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-seq 11748  df-exp 11807  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-clim 12907  df-sum 13105  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-starv 14193  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-unif 14201  df-hom 14202  df-cco 14203  df-rest 14301  df-topn 14302  df-0g 14320  df-gsum 14321  df-topgen 14322  df-pt 14323  df-prds 14326  df-xrs 14380  df-qtop 14385  df-imas 14386  df-xps 14388  df-mre 14464  df-mrc 14465  df-acs 14467  df-mnd 15355  df-submnd 15405  df-mulg 15485  df-cntz 15772  df-cmn 16216  df-psmet 17519  df-xmet 17520  df-met 17521  df-bl 17522  df-mopn 17523  df-cnfld 17529  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-topsp 18211  df-cld 18327  df-ntr 18328  df-cls 18329  df-cn 18535  df-cnp 18536  df-t1 18622  df-haus 18623  df-tx 18839  df-hmeo 19032  df-xms 19595  df-ms 19596  df-tms 19597  df-grpo 23357  df-gid 23358  df-ginv 23359  df-gdiv 23360  df-ablo 23448  df-vc 23603  df-nv 23649  df-va 23652  df-ba 23653  df-sm 23654  df-0v 23655  df-vs 23656  df-nmcv 23657  df-ims 23658  df-dip 23775  df-lno 23823  df-nmoo 23824  df-blo 23825  df-0o 23826  df-ph 23892
  Copyright terms: Public domain W3C validator