MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdir Unicode version

Theorem ipdir 18261
Description: Distributive law for inner product (right-distributivity). Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f
phllmhm.h
phllmhm.v
ipdir.g
ipdir.p
Assertion
Ref Expression
ipdir

Proof of Theorem ipdir
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . . 6
2 phllmhm.h . . . . . 6
3 phllmhm.v . . . . . 6
4 eqid 2454 . . . . . 6
51, 2, 3, 4phllmhm 18254 . . . . 5
653ad2antr3 1155 . . . 4
7 lmghm 17288 . . . 4
86, 7syl 16 . . 3
9 simpr1 994 . . 3
10 simpr2 995 . . 3
11 ipdir.g . . . 4
12 ipdir.p . . . . 5
13 rlmplusg 17453 . . . . 5
1412, 13eqtri 2483 . . . 4
153, 11, 14ghmlin 15911 . . 3
168, 9, 10, 15syl3anc 1219 . 2
17 phllmod 18252 . . . . 5
183, 11lmodvacl 17138 . . . . 5
1917, 18syl3an1 1252 . . . 4
20193adant3r3 1199 . . 3
21 oveq1 6229 . . . 4
22 ovex 6247 . . . 4
2321, 4, 22fvmpt3i 5901 . . 3
2420, 23syl 16 . 2
25 oveq1 6229 . . . . 5
2625, 4, 22fvmpt3i 5901 . . . 4
279, 26syl 16 . . 3
28 oveq1 6229 . . . . 5
2928, 4, 22fvmpt3i 5901 . . . 4
3010, 29syl 16 . . 3
3127, 30oveq12d 6240 . 2
3216, 24, 313eqtr3d 2503 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  e.cmpt 4467  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cbs 14332   cplusg 14397   csca 14400   cip 14402   cghm 15903   clmod 17124   clmhm 17276   crglmod 17426   cphl 18246
This theorem is referenced by:  ipdi  18262  ip2di  18263  ipsubdir  18264  ocvlss  18290  lsmcss  18310  cphdir  21122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-sets 14338  df-plusg 14410  df-sca 14413  df-vsca 14414  df-ip 14415  df-mnd 15574  df-grp 15704  df-ghm 15904  df-lmod 17126  df-lmhm 17279  df-lvec 17360  df-sra 17429  df-rgmod 17430  df-phl 18248
  Copyright terms: Public domain W3C validator