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Theorem isphld 18276
Description: Properties that determine a pre-Hilbert (inner product) space. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphld.v
isphld.a
isphld.s
isphld.i
isphld.z
isphld.f
isphld.k
isphld.p
isphld.t
isphld.c
isphld.o
isphld.l
isphld.r
isphld.cl
isphld.d
isphld.ns
isphld.cj
Assertion
Ref Expression
isphld
Distinct variable groups:   , , , ,   , , , ,

Proof of Theorem isphld
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isphld.l . 2
2 isphld.f . . 3
3 isphld.r . . 3
42, 3eqeltrrd 2543 . 2
5 oveq1 6229 . . . . . 6
65cbvmptv 4500 . . . . 5
7 isphld.cl . . . . . . . . . . . . . . 15
873expib 1191 . . . . . . . . . . . . . 14
9 isphld.v . . . . . . . . . . . . . . . 16
109eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15
119eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15
1210, 11anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14
13 isphld.i . . . . . . . . . . . . . . . 16
1413oveqd 6239 . . . . . . . . . . . . . . 15
15 isphld.k . . . . . . . . . . . . . . . 16
162fveq2d 5817 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1715, 16eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15
1814, 17eleq12d 2536 . . . . . . . . . . . . . 14
198, 12, 183imtr3d 267 . . . . . . . . . . . . 13
2019impl 620 . . . . . . . . . . . 12
2120an32s 802 . . . . . . . . . . 11
22 oveq1 6229 . . . . . . . . . . . 12
2322cbvmptv 4500 . . . . . . . . . . 11
2421, 23fmptd 5990 . . . . . . . . . 10
2524ralrimiva 2831 . . . . . . . . 9
26 oveq2 6230 . . . . . . . . . . . 12
2726mpteq2dv 4496 . . . . . . . . . . 11
2827feq1d 5666 . . . . . . . . . 10
2928rspccva 3181 . . . . . . . . 9
3025, 29sylan 471 . . . . . . . 8
31 eqidd 2455 . . . . . . . 8
32 isphld.d . . . . . . . . . . . . . . . 16
33323exp 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15
3417eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15
35 3anrot 970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
369eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3736, 10, 113anbi123d 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3835, 37syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 isphld.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40 isphld.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4140oveqd 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
42 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4339, 41, 42oveq123d 6243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4513, 43, 44oveq123d 6243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
46 isphld.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
472fveq2d 5817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4846, 47eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
49 isphld.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
502fveq2d 5817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5149, 50eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
52 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5313oveqd 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5451, 52, 53oveq123d 6243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5513oveqd 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5648, 54, 55oveq123d 6243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5745, 56eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5838, 57imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15
5933, 34, 583imtr3d 267 . . . . . . . . . . . . . 14
6059imp31 432 . . . . . . . . . . . . 13
61603exp2 1206 . . . . . . . . . . . 12
6261impancom 440 . . . . . . . . . . 11
63623imp2 1203 . . . . . . . . . 10
64 lveclmod 17363 . . . . . . . . . . . . . . . 16
651, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
68 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14
69 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14
7068, 69lss1 17196 . . . . . . . . . . . . 13
7167, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12
72 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13
73 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13
74 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13
75 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13
7672, 73, 74, 75, 69lsscl 17200 . . . . . . . . . . . 12
7771, 76sylancom 667 . . . . . . . . . . 11
78 oveq1 6229 . . . . . . . . . . . 12
79 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12
80 ovex 6247 . . . . . . . . . . . 12
8178, 79, 80fvmpt3i 5901 . . . . . . . . . . 11
8277, 81syl 16 . . . . . . . . . 10
83 simpr2 995 . . . . . . . . . . . . 13
84 oveq1 6229 . . . . . . . . . . . . . 14
8584, 79, 80fvmpt3i 5901 . . . . . . . . . . . . 13
8683, 85syl 16 . . . . . . . . . . . 12
8786oveq2d 6238 . . . . . . . . . . 11
88 simpr3 996 . . . . . . . . . . . 12
89 oveq1 6229 . . . . . . . . . . . . 13
9089, 79, 80fvmpt3i 5901 . . . . . . . . . . . 12
9188, 90syl 16 . . . . . . . . . . 11
9287, 91oveq12d 6240 . . . . . . . . . 10
9363, 82, 923eqtr4d 2505 . . . . . . . . 9
9493ralrimivvva 2917 . . . . . . . 8
9572lmodrng 17132 . . . . . . . . . . 11
96 rlmlmod 17462 . . . . . . . . . . 11
9765, 95, 963syl 20 . . . . . . . . . 10
9897adantr 465 . . . . . . . . 9
99 rlmbas 17452 . . . . . . . . . 10
100 fvex 5823 . . . . . . . . . . 11
101 rlmsca 17457 . . . . . . . . . . 11
102100, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
103 rlmplusg 17453 . . . . . . . . . 10
104 rlmvsca 17459 . . . . . . . . . 10
10568, 99, 72, 102, 73, 74, 103, 75, 104islmhm2 17295 . . . . . . . . 9
10666, 98, 105syl2anc 661 . . . . . . . 8
10730, 31, 94, 106mpbir3and 1171 . . . . . . 7
108107ralrimiva 2831 . . . . . 6
109 oveq2 6230 . . . . . . . . 9
110109mpteq2dv 4496 . . . . . . . 8
111110eleq1d 2523 . . . . . . 7
112111rspccva 3181 . . . . . 6
113108, 112sylan 471 . . . . 5
1146, 113syl5eqel 2546 . . . 4
115 isphld.ns . . . . . . 7
1161153exp 1187 . . . . . 6
11713oveqd 6239 . . . . . . . 8
118 isphld.o . . . . . . . . 9
1192fveq2d 5817 . . . . . . . . 9
120118, 119eqtrd 2495 . . . . . . . 8
121117, 120eqeq12d 2476 . . . . . . 7
122 isphld.z . . . . . . . 8
123122eqeq2d 2468 . . . . . . 7
124121, 123imbi12d 320 . . . . . 6
125116, 10, 1243imtr3d 267 . . . . 5
126125imp 429 . . . 4
127 isphld.cj . . . . . . . 8
1281273expib 1191 . . . . . . 7
129 isphld.c . . . . . . . . . 10
1302fveq2d 5817 . . . . . . . . . 10
131129, 130eqtrd 2495 . . . . . . . . 9
132131, 14fveq12d 5819 . . . . . . . 8
13313oveqd 6239 . . . . . . . 8
134132, 133eqeq12d 2476 . . . . . . 7
135128, 12, 1343imtr3d 267 . . . . . 6
136135expdimp 437 . . . . 5
137136ralrimiv 2829 . . . 4
138114, 126, 1373jca 1168 . . 3
139138ralrimiva 2831 . 2
140 eqid 2454 . . 3
141 eqid 2454 . . 3
142 eqid 2454 . . 3
143 eqid 2454 . . 3
14468, 72, 140, 141, 142, 143isphl 18250 . 2
1451, 4, 139, 144syl3anbrc 1172 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  A.wral 2800   cvv 3081  e.cmpt 4467  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cbs 14332   cplusg 14397   cmulr 14398   cstv 14399   csca 14400   cvsca 14401   cip 14402   c0g 14537   crg 16821   csr 17105   clmod 17124   clss 17189   clmhm 17276   clvec 17359   crglmod 17426   cphl 18246
This theorem is referenced by:  frlmphl  18399  hlhilphllem  36458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-sca 14413  df-vsca 14414  df-ip 14415  df-0g 14539  df-mnd 15574  df-grp 15704  df-subg 15837  df-ghm 15904  df-mgp 16767  df-ur 16779  df-rng 16823  df-subrg 17039  df-lmod 17126  df-lss 17190  df-lmhm 17279  df-lvec 17360  df-sra 17429  df-rgmod 17430  df-phl 18248
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