MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrhm Unicode version

Theorem isrhm 16987
Description: A function is a ring homomorphism iff it preserves both addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isrhm.m
isrhm.n
Assertion
Ref Expression
isrhm

Proof of Theorem isrhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrhm2 16984 . . 3
21elmpt2cl 6437 . 2
3 oveq12 6231 . . . . . 6
4 fveq2 5813 . . . . . . 7
5 fveq2 5813 . . . . . . 7
64, 5oveqan12d 6241 . . . . . 6
73, 6ineq12d 3667 . . . . 5
8 ovex 6247 . . . . . 6
98inex1 4550 . . . . 5
107, 1, 9ovmpt2a 6354 . . . 4
1110eleq2d 2524 . . 3
12 elin 3653 . . . 4
13 isrhm.m . . . . . . . 8
14 isrhm.n . . . . . . . 8
1513, 14oveq12i 6234 . . . . . . 7
1615eqcomi 2467 . . . . . 6
1716eleq2i 2532 . . . . 5
1817anbi2i 694 . . . 4
1912, 18bitri 249 . . 3
2011, 19syl6bb 261 . 2
212, 20biadan2 642 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  i^icin 3441  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cmhm 15621   cghm 15903   cmgp 16766   crg 16821   crh 16980
This theorem is referenced by:  rhmmhm  16988  rhmghm  16991  isrhm2d  16994  rhmf1o  16997  rhmco  17001  pwsco1rhm  17002  pwsco2rhm  17003  resrhm  17070  pwsdiagrhm  17074  rhmpropd  17076  mat1rhm  18575  mat2pmatrhm  18807  m2cpmrhm  18819  pm2mprhm  18893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-er 7235  df-map 7350  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-plusg 14410  df-0g 14539  df-mhm 15623  df-ghm 15904  df-mgp 16767  df-ur 16779  df-rng 16823  df-rnghom 16982
  Copyright terms: Public domain W3C validator