MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1mulc Unicode version

Theorem itg1mulc 20882
Description: The integral of a constant times a simple function is the constant times the original integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2
i1fmulc.3
Assertion
Ref Expression
itg1mulc

Proof of Theorem itg1mulc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10 20866 . . 3
2 reex 9319 . . . . . 6
32a1i 11 . . . . 5
4 i1fmulc.2 . . . . . . 7
5 i1ff 20854 . . . . . . 7
64, 5syl 16 . . . . . 6
76adantr 455 . . . . 5
8 i1fmulc.3 . . . . . 6
98adantr 455 . . . . 5
10 0red 9333 . . . . 5
11 simplr 739 . . . . . . 7
1211oveq1d 6076 . . . . . 6
13 mul02lem2 9492 . . . . . . 7
1413adantl 456 . . . . . 6
1512, 14eqtrd 2454 . . . . 5
163, 7, 9, 10, 15caofid2 6321 . . . 4
1716fveq2d 5665 . . 3
18 simpr 451 . . . . 5
1918oveq1d 6076 . . . 4
20 itg1cl 20863 . . . . . . . 8
214, 20syl 16 . . . . . . 7
2221recnd 9358 . . . . . 6
2322mul02d 9513 . . . . 5
2423adantr 455 . . . 4
2519, 24eqtrd 2454 . . 3
261, 17, 253eqtr4a 2480 . 2
274, 8i1fmulc 20881 . . . . . . . . . . . . . 14
2827adantr 455 . . . . . . . . . . . . 13
29 i1ff 20854 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12
31 frn 5535 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11
3332ssdifssd 3471 . . . . . . . . . 10
3433sselda 3333 . . . . . . . . 9
3534recnd 9358 . . . . . . . 8
368adantr 455 . . . . . . . . . 10
3736recnd 9358 . . . . . . . . 9
3837adantr 455 . . . . . . . 8
39 simplr 739 . . . . . . . 8
4035, 38, 39divcan2d 10055 . . . . . . 7
414, 8i1fmulclem 20880 . . . . . . . . . 10
4234, 41syldan 460 . . . . . . . . 9
4342fveq2d 5665 . . . . . . . 8
4443eqcomd 2427 . . . . . . 7
4540, 44oveq12d 6079 . . . . . 6
468ad2antrr 710 . . . . . . . . 9
4734, 46, 39redivcld 10105 . . . . . . . 8
4847recnd 9358 . . . . . . 7
494ad2antrr 710 . . . . . . . . 9
5046recnd 9358 . . . . . . . . . . 11
51 eldifsni 3976 . . . . . . . . . . . 12
5251adantl 456 . . . . . . . . . . 11
5335, 50, 52, 39divne0d 10069 . . . . . . . . . 10
54 eldifsn 3975 . . . . . . . . . 10
5547, 53, 54sylanbrc 649 . . . . . . . . 9
56 i1fima2sn 20858 . . . . . . . . 9
5749, 55, 56syl2anc 646 . . . . . . . 8
5857recnd 9358 . . . . . . 7
5938, 48, 58mulassd 9355 . . . . . 6
6045, 59eqtr3d 2456 . . . . 5
6160sumeq2dv 13121 . . . 4
62 i1frn 20855 . . . . . . 7
6328, 62syl 16 . . . . . 6
64 difss 3460 . . . . . 6
65 ssfi 7492 . . . . . 6
6663, 64, 65sylancl 647 . . . . 5
6748, 58mulcld 9352 . . . . 5
6866, 37, 67fsummulc2 13191 . . . 4
6961, 68eqtr4d 2457 . . 3
70 itg1val 20861 . . . 4
7128, 70syl 16 . . 3
724adantr 455 . . . . . 6
73 itg1val 20861 . . . . . 6
7472, 73syl 16 . . . . 5
75 id 21 . . . . . . 7
76 sneq 3864 . . . . . . . . 9
7776imaeq2d 5141 . . . . . . . 8
7877fveq2d 5665 . . . . . . 7
7975, 78oveq12d 6079 . . . . . 6
80 eqid 2422 . . . . . . 7
81 eldifi 3455 . . . . . . . . 9
822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
83 ffn 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
846, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
85 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8682, 8, 84, 85ofc1 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786adantlr 699 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887oveq1d 6076 . . . . . . . . . . . . . 14
896adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9089ffvelrnda 5813 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9190recnd 9358 . . . . . . . . . . . . . . 15
9237adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . 15
93 simplr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15
9491, 92, 93divcan3d 10058 . . . . . . . . . . . . . 14
9588, 94eqtrd 2454 . . . . . . . . . . . . 13
9689, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
97 fnfvelrn 5810 . . . . . . . . . . . . . 14
9896, 97sylan 461 . . . . . . . . . . . . 13
9995, 98eqeltrd 2496 . . . . . . . . . . . 12
10099ralrimiva 2778 . . . . . . . . . . 11
101 ffn 5529 . . . . . . . . . . . . 13
10230, 101syl 16 . . . . . . . . . . . 12
103 oveq1 6068 . . . . . . . . . . . . . 14
104103eleq1d 2488 . . . . . . . . . . . . 13
105104ralrn 5816 . . . . . . . . . . . 12
106102, 105syl 16 . . . . . . . . . . 11
107100, 106mpbird 226 . . . . . . . . . 10
108107r19.21bi 2793 . . . . . . . . 9
10981, 108sylan2 464 . . . . . . . 8
11033sselda 3333 . . . . . . . . . 10
111110recnd 9358 . . . . . . . . 9
11237adantr 455 . . . . . . . . 9
113 eldifsni 3976 . . . . . . . . . 10
114113adantl 456 . . . . . . . . 9
115 simplr 739 . . . . . . . . 9
116111, 112, 114, 115divne0d 10069 . . . . . . . 8
117 eldifsn 3975 . . . . . . . 8
118109, 116, 117sylanbrc 649 . . . . . . 7
119 eldifi 3455 . . . . . . . . 9
120 fnfvelrn 5810 . . . . . . . . . . . . . 14
121102, 120sylan 461 . . . . . . . . . . . . 13
12287, 121eqeltrrd 2497 . . . . . . . . . . . 12
123122ralrimiva 2778 . . . . . . . . . . 11
124 oveq2 6069 . . . . . . . . . . . . . 14
125124eleq1d 2488 . . . . . . . . . . . . 13
126125ralrn 5816 . . . . . . . . . . . 12
12796, 126syl 16 . . . . . . . . . . 11
128123, 127mpbird 226 . . . . . . . . . 10
129128r19.21bi 2793 . . . . . . . . 9
130119, 129sylan2 464 . . . . . . . 8
13137adantr 455 . . . . . . . . 9
132 frn 5535 . . . . . . . . . . . . 13
13389, 132syl 16 . . . . . . . . . . . 12
134133ssdifssd 3471 . . . . . . . . . . 11
135134sselda 3333 . . . . . . . . . 10
136135recnd 9358 . . . . . . . . 9
137 simplr 739 . . . . . . . . 9
138 eldifsni 3976 . . . . . . . . . 10
139138adantl 456 . . . . . . . . 9
140131, 136, 137, 139mulne0d 9934 . . . . . . . 8
141 eldifsn 3975 . . . . . . . 8
142130, 140, 141sylanbrc 649 . . . . . . 7
143 simpl 447 . . . . . . . . . . . 12
144 ssel2 3328 . . . . . . . . . . . 12
14533, 143, 144syl2an 467 . . . . . . . . . . 11
146145recnd 9358 . . . . . . . . . 10
1478ad2antrr 710 . . . . . . . . . . 11
148147recnd 9358 . . . . . . . . . 10
149135adantrl 700 . . . . . . . . . . 11
150149recnd 9358 . . . . . . . . . 10
151 simplr 739 . . . . . . . . . 10
152146, 148, 150, 151divmuld 10075 . . . . . . . . 9
153152bicomd 195 . . . . . . . 8
154 eqcom 2424 . . . . . . . 8
155 eqcom 2424 . . . . . . . 8
156153, 154, 1553bitr4g 282 . . . . . . 7
15780, 118, 142, 156f1o2d 6282 . . . . . 6
158 oveq1 6068 . . . . . . . 8
159 ovex 6086 . . . . . . . 8
160158, 80, 159fvmpt 5744 . . . . . . 7
161160adantl 456 . . . . . 6
162 i1fima2sn 20858 . . . . . . . . 9
16372, 162sylan 461 . . . . . . . 8
164135, 163remulcld 9360 . . . . . . 7
165164recnd 9358 . . . . . 6
16679, 66, 157, 161, 165fsumf1o 13141 . . . . 5
16774, 166eqtrd 2454 . . . 4
168167oveq2d 6077 . . 3
16969, 71, 1683eqtr4d 2464 . 2
17026, 169pm2.61dane 2668 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585  A.wral 2694   cvv 2951  \cdif 3302  C_wss 3305  {csn 3853  e.cmpt 4325  X.cxp 4809  `'ccnv 4810  domcdm 4811  rancrn 4812  "cima 4814  Fnwfn 5385  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061  oFcof 6288   cfn 7269   cc 9226   cr 9227  0cc0 9228   cmul 9233   cdiv 9939  sum_csu 13104   cvol 20647   citg1 20795
This theorem is referenced by:  itg1sub  20887  itg2const  20918  itg2mulclem  20924  itg2monolem1  20928  itg2addnclem  28114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-pm 7178  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xadd 11035  df-ioo 11249  df-ico 11251  df-icc 11252  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-fl 11583  df-seq 11748  df-exp 11807  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-clim 12907  df-sum 13105  df-xmet 17520  df-met 17521  df-ovol 20648  df-vol 20649  df-mbf 20799  df-itg1 20800
  Copyright terms: Public domain W3C validator