MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1mulc Unicode version

Theorem itg1mulc 21582
Description: The integral of a constant times a simple function is the constant times the original integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2
i1fmulc.3
Assertion
Ref Expression
itg1mulc

Proof of Theorem itg1mulc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10 21566 . . 3
2 reex 9510 . . . . . 6
32a1i 11 . . . . 5
4 i1fmulc.2 . . . . . . 7
5 i1ff 21554 . . . . . . 7
64, 5syl 16 . . . . . 6
76adantr 465 . . . . 5
8 i1fmulc.3 . . . . . 6
98adantr 465 . . . . 5
10 0red 9524 . . . . 5
11 simplr 754 . . . . . . 7
1211oveq1d 6237 . . . . . 6
13 mul02lem2 9683 . . . . . . 7
1413adantl 466 . . . . . 6
1512, 14eqtrd 2495 . . . . 5
163, 7, 9, 10, 15caofid2 6484 . . . 4
1716fveq2d 5817 . . 3
18 simpr 461 . . . . 5
1918oveq1d 6237 . . . 4
20 itg1cl 21563 . . . . . . . 8
214, 20syl 16 . . . . . . 7
2221recnd 9549 . . . . . 6
2322mul02d 9704 . . . . 5
2423adantr 465 . . . 4
2519, 24eqtrd 2495 . . 3
261, 17, 253eqtr4a 2521 . 2
274, 8i1fmulc 21581 . . . . . . . . . . . . . 14
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
29 i1ff 21554 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12
31 frn 5685 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11
3332ssdifssd 3608 . . . . . . . . . 10
3433sselda 3470 . . . . . . . . 9
3534recnd 9549 . . . . . . . 8
368adantr 465 . . . . . . . . . 10
3736recnd 9549 . . . . . . . . 9
3837adantr 465 . . . . . . . 8
39 simplr 754 . . . . . . . 8
4035, 38, 39divcan2d 10246 . . . . . . 7
414, 8i1fmulclem 21580 . . . . . . . . . 10
4234, 41syldan 470 . . . . . . . . 9
4342fveq2d 5817 . . . . . . . 8
4443eqcomd 2462 . . . . . . 7
4540, 44oveq12d 6240 . . . . . 6
468ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
4734, 46, 39redivcld 10296 . . . . . . . 8
4847recnd 9549 . . . . . . 7
494ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
5046recnd 9549 . . . . . . . . . . 11
51 eldifsni 4118 . . . . . . . . . . . 12
5251adantl 466 . . . . . . . . . . 11
5335, 50, 52, 39divne0d 10260 . . . . . . . . . 10
54 eldifsn 4117 . . . . . . . . . 10
5547, 53, 54sylanbrc 664 . . . . . . . . 9
56 i1fima2sn 21558 . . . . . . . . 9
5749, 55, 56syl2anc 661 . . . . . . . 8
5857recnd 9549 . . . . . . 7
5938, 48, 58mulassd 9546 . . . . . 6
6045, 59eqtr3d 2497 . . . . 5
6160sumeq2dv 13338 . . . 4
62 i1frn 21555 . . . . . . 7
6328, 62syl 16 . . . . . 6
64 difss 3597 . . . . . 6
65 ssfi 7668 . . . . . 6
6663, 64, 65sylancl 662 . . . . 5
6748, 58mulcld 9543 . . . . 5
6866, 37, 67fsummulc2 13409 . . . 4
6961, 68eqtr4d 2498 . . 3
70 itg1val 21561 . . . 4
7128, 70syl 16 . . 3
724adantr 465 . . . . . 6
73 itg1val 21561 . . . . . 6
7472, 73syl 16 . . . . 5
75 id 22 . . . . . . 7
76 sneq 4003 . . . . . . . . 9
7776imaeq2d 5288 . . . . . . . 8
7877fveq2d 5817 . . . . . . 7
7975, 78oveq12d 6240 . . . . . 6
80 eqid 2454 . . . . . . 7
81 eldifi 3592 . . . . . . . . 9
822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
83 ffn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
846, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
85 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8682, 8, 84, 85ofc1 6476 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887oveq1d 6237 . . . . . . . . . . . . . 14
896adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9089ffvelrnda 5966 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9190recnd 9549 . . . . . . . . . . . . . . 15
9237adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
93 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15
9491, 92, 93divcan3d 10249 . . . . . . . . . . . . . 14
9588, 94eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . 13
9689, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
97 fnfvelrn 5963 . . . . . . . . . . . . . 14
9896, 97sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
9995, 98eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . 12
10099ralrimiva 2831 . . . . . . . . . . 11
101 ffn 5679 . . . . . . . . . . . . 13
10230, 101syl 16 . . . . . . . . . . . 12
103 oveq1 6229 . . . . . . . . . . . . . 14
104103eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . 13
105104ralrn 5969 . . . . . . . . . . . 12
106102, 105syl 16 . . . . . . . . . . 11
107100, 106mpbird 232 . . . . . . . . . 10
108107r19.21bi 2922 . . . . . . . . 9
10981, 108sylan2 474 . . . . . . . 8
11033sselda 3470 . . . . . . . . . 10
111110recnd 9549 . . . . . . . . 9
11237adantr 465 . . . . . . . . 9
113 eldifsni 4118 . . . . . . . . . 10
114113adantl 466 . . . . . . . . 9
115 simplr 754 . . . . . . . . 9
116111, 112, 114, 115divne0d 10260 . . . . . . . 8
117 eldifsn 4117 . . . . . . . 8
118109, 116, 117sylanbrc 664 . . . . . . 7
119 eldifi 3592 . . . . . . . . 9
120 fnfvelrn 5963 . . . . . . . . . . . . . 14
121102, 120sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
12287, 121eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . . 12
123122ralrimiva 2831 . . . . . . . . . . 11
124 oveq2 6230 . . . . . . . . . . . . . 14
125124eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . 13
126125ralrn 5969 . . . . . . . . . . . 12
12796, 126syl 16 . . . . . . . . . . 11
128123, 127mpbird 232 . . . . . . . . . 10
129128r19.21bi 2922 . . . . . . . . 9
130119, 129sylan2 474 . . . . . . . 8
13137adantr 465 . . . . . . . . 9
132 frn 5685 . . . . . . . . . . . . 13
13389, 132syl 16 . . . . . . . . . . . 12
134133ssdifssd 3608 . . . . . . . . . . 11
135134sselda 3470 . . . . . . . . . 10
136135recnd 9549 . . . . . . . . 9
137 simplr 754 . . . . . . . . 9
138 eldifsni 4118 . . . . . . . . . 10
139138adantl 466 . . . . . . . . 9
140131, 136, 137, 139mulne0d 10125 . . . . . . . 8
141 eldifsn 4117 . . . . . . . 8
142130, 140, 141sylanbrc 664 . . . . . . 7
143 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12
144 ssel2 3465 . . . . . . . . . . . 12
14533, 143, 144syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
146145recnd 9549 . . . . . . . . . 10
1478ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
148147recnd 9549 . . . . . . . . . 10
149135adantrl 715 . . . . . . . . . . 11
150149recnd 9549 . . . . . . . . . 10
151 simplr 754 . . . . . . . . . 10
152146, 148, 150, 151divmuld 10266 . . . . . . . . 9
153152bicomd 201 . . . . . . . 8
154 eqcom 2463 . . . . . . . 8
155 eqcom 2463 . . . . . . . 8
156153, 154, 1553bitr4g 288 . . . . . . 7
15780, 118, 142, 156f1o2d 6445 . . . . . 6
158 oveq1 6229 . . . . . . . 8
159 ovex 6247 . . . . . . . 8
160158, 80, 159fvmpt 5897 . . . . . . 7
161160adantl 466 . . . . . 6
162 i1fima2sn 21558 . . . . . . . . 9
16372, 162sylan 471 . . . . . . . 8
164135, 163remulcld 9551 . . . . . . 7
165164recnd 9549 . . . . . 6
16679, 66, 157, 161, 165fsumf1o 13358 . . . . 5
16774, 166eqtrd 2495 . . . 4
168167oveq2d 6238 . . 3
16969, 71, 1683eqtr4d 2505 . 2
17026, 169pm2.61dane 2771 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648  A.wral 2800   cvv 3081  \cdif 3439  C_wss 3442  {csn 3993  e.cmpt 4467  X.cxp 4955  `'ccnv 4956  domcdm 4957  rancrn 4958  "cima 4960  Fnwfn 5532  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222  oFcof 6451   cfn 7444   cc 9417   cr 9418  0cc0 9419   cmul 9424   cdiv 10130  sum_csu 13321   cvol 21346   citg1 21495
This theorem is referenced by:  itg1sub  21587  itg2const  21618  itg2mulclem  21624  itg2monolem1  21628  itg2addnclem  28903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-pm 7351  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-cda 8474  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-xadd 11229  df-ioo 11443  df-ico 11445  df-icc 11446  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-fl 11787  df-seq 11964  df-exp 12023  df-hash 12261  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-clim 13124  df-sum 13322  df-xmet 18003  df-met 18004  df-ovol 21347  df-vol 21348  df-mbf 21499  df-itg1 21500
  Copyright terms: Public domain W3C validator