Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kelac2 Unicode version

Theorem kelac2 29878
Description: Kelley's choice, most common form: compactness of a product of knob topologies recovers choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kelac2.s
kelac2.z
kelac2.k
Assertion
Ref Expression
kelac2
Distinct variable groups:   ,   ,I

Proof of Theorem kelac2
StepHypRef Expression
1 kelac2.z . 2
2 kelac2.s . . 3
3 kelac2lem 29877 . . 3
4 cmptop 19397 . . 3
52, 3, 43syl 20 . 2
6 uncom 3614 . . . . . . 7
76difeq1i 3584 . . . . . 6
8 difun2 3872 . . . . . 6
97, 8eqtri 2483 . . . . 5
10 snex 4650 . . . . . . 7
11 uniprg 4222 . . . . . . 7
122, 10, 11sylancl 662 . . . . . 6
1312difeq1d 3587 . . . . 5
14 incom 3657 . . . . . . 7
15 pwuninel 6928 . . . . . . . . 9
1615a1i 11 . . . . . . . 8
17 disjsn 4053 . . . . . . . 8
1816, 17sylibr 212 . . . . . . 7
1914, 18syl5eq 2507 . . . . . 6
20 disj3 3837 . . . . . 6
2119, 20sylib 196 . . . . 5
229, 13, 213eqtr4a 2521 . . . 4
23 prex 4651 . . . . . 6
24 bastg 18970 . . . . . 6
2523, 24mp1i 12 . . . . 5
2610prid2 4101 . . . . . 6
2726a1i 11 . . . . 5
2825, 27sseldd 3471 . . . 4
2922, 28eqeltrd 2542 . . 3
30 prid1g 4098 . . . . 5
31 elssuni 4238 . . . . 5
322, 30, 313syl 20 . . . 4
33 unitg 18971 . . . . . . 7
3423, 33ax-mp 5 . . . . . 6
3534eqcomi 2467 . . . . 5
3635iscld2 19031 . . . 4
375, 32, 36syl2anc 661 . . 3
3829, 37mpbird 232 . 2
39 f1oi 5798 . . 3
4039a1i 11 . 2
41 elssuni 4238 . . . . 5
4226, 41mp1i 12 . . . 4
43 uniexg 6510 . . . . 5
44 pwexg 4593 . . . . 5
45 snidg 4019 . . . . 5
462, 43, 44, 454syl 21 . . . 4
4742, 46sseldd 3471 . . 3
4847, 34syl6eleqr 2553 . 2
49 kelac2.k . 2
501, 5, 38, 40, 48, 49kelac1 29876 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648   cvv 3081  \cdif 3439  u.cun 3440  i^icin 3441  C_wss 3442   c0 3751  ~Pcpw 3976  {csn 3993  {cpr 3995  U.cuni 4208  e.cmpt 4467   cid 4748  |`cres 4959  -1-1-onto->wf1o 5536  `cfv 5537  X_cixp 7397   ctg 14535   cpt 14536   ctop 18897   ccld 19019   ccmp 19388
This theorem is referenced by:  dfac21  29879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-iin 4291  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fi 7797  df-topgen 14541  df-pt 14542  df-top 18902  df-bases 18904  df-cld 19022  df-cmp 19389
  Copyright terms: Public domain W3C validator