MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kerf1hrm Unicode version

Theorem kerf1hrm 17007
Description: A ring homomorphism is injective if and only if its kernel is the singleton . (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 24-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
kerf1hrm.a
kerf1hrm.b
kerf1hrm.n
kerf1hrm.0
Assertion
Ref Expression
kerf1hrm

Proof of Theorem kerf1hrm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . 7
2 f1fn 5729 . . . . . . . . . . 11
32adantl 466 . . . . . . . . . 10
4 elpreima 5946 . . . . . . . . . 10
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9
65biimpa 484 . . . . . . . 8
76simpld 459 . . . . . . 7
86simprd 463 . . . . . . . 8
9 fvex 5823 . . . . . . . . 9
109elsnc 4017 . . . . . . . 8
118, 10sylib 196 . . . . . . 7
12 kerf1hrm.a . . . . . . . . . . 11
13 kerf1hrm.b . . . . . . . . . . 11
14 kerf1hrm.0 . . . . . . . . . . 11
15 kerf1hrm.n . . . . . . . . . . 11
1612, 13, 14, 15f1rhm0to0 17004 . . . . . . . . . 10
1716biimpd 207 . . . . . . . . 9
18173expa 1188 . . . . . . . 8
1918imp 429 . . . . . . 7
201, 7, 11, 19syl21anc 1218 . . . . . 6
2120ex 434 . . . . 5
22 elsn 4007 . . . . 5
2321, 22syl6ibr 227 . . . 4
2423ssrdv 3476 . . 3
25 rhmrcl1 16985 . . . . . . 7
26 rnggrp 16826 . . . . . . 7
2712, 15grpidcl 15725 . . . . . . 7
2825, 26, 273syl 20 . . . . . 6
29 rhmghm 16991 . . . . . . . 8
3015, 14ghmid 15912 . . . . . . . 8
3129, 30syl 16 . . . . . . 7
32 fvex 5823 . . . . . . . 8
3332elsnc 4017 . . . . . . 7
3431, 33sylibr 212 . . . . . 6
3512, 13rhmf 16992 . . . . . . 7
36 ffn 5679 . . . . . . 7
37 elpreima 5946 . . . . . . 7
3835, 36, 373syl 20 . . . . . 6
3928, 34, 38mpbir2and 913 . . . . 5
4039snssd 4135 . . . 4
4140adantr 465 . . 3
4224, 41eqssd 3487 . 2
4335adantr 465 . . 3
4429adantr 465 . . . . . . . . . 10
45 simpr2l 1047 . . . . . . . . . 10
46 simpr2r 1048 . . . . . . . . . 10
47 simpr3 996 . . . . . . . . . 10
48 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12
49 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12
5012, 14, 48, 49ghmeqker 15932 . . . . . . . . . . 11
5150biimpa 484 . . . . . . . . . 10
5244, 45, 46, 47, 51syl31anc 1222 . . . . . . . . 9
53 simpr1 994 . . . . . . . . 9
5452, 53eleqtrd 2544 . . . . . . . 8
55 ovex 6247 . . . . . . . . 9
5655elsnc 4017 . . . . . . . 8
5754, 56sylib 196 . . . . . . 7
5825adantr 465 . . . . . . . . 9
5958, 26syl 16 . . . . . . . 8
6012, 15, 49grpsubeq0 15771 . . . . . . . 8
6159, 45, 46, 60syl3anc 1219 . . . . . . 7
6257, 61mpbid 210 . . . . . 6
63623anassrs 1210 . . . . 5
6463ex 434 . . . 4
6564ralrimivva 2916 . . 3
66 dff13 6096 . . 3
6743, 65, 66sylanbrc 664 . 2
6842, 67impbida 828 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  A.wral 2800  C_wss 3442  {csn 3993  `'ccnv 4956  "cima 4960  Fnwfn 5532  -->wf 5533  -1-1->wf1 5534  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cbs 14332   c0g 14537   cgrp 15569   csg 15572   cghm 15903   crg 16821   crh 16980
This theorem is referenced by:  zrhf1ker  26861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-er 7235  df-map 7350  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-plusg 14410  df-0g 14539  df-mnd 15574  df-mhm 15623  df-grp 15704  df-minusg 15705  df-sbg 15706  df-ghm 15904  df-mgp 16767  df-ur 16779  df-rng 16823  df-rnghom 16982
  Copyright terms: Public domain W3C validator