Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kerf1hrm Unicode version

Theorem kerf1hrm 26000
Description: A ring homomorphism is injective if and only if its kernel is the singleton . (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
kerf1hrm.a
kerf1hrm.b
kerf1hrm.n
kerf1hrm.0
Assertion
Ref Expression
kerf1hrm

Proof of Theorem kerf1hrm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 447 . . . . . . 7
2 f1fn 5577 . . . . . . . . . . 11
32adantl 456 . . . . . . . . . 10
4 elpreima 5793 . . . . . . . . . 10
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9
65biimpa 474 . . . . . . . 8
76simpld 449 . . . . . . 7
86simprd 453 . . . . . . . 8
9 fvex 5671 . . . . . . . . 9
109elsnc 3878 . . . . . . . 8
118, 10sylib 190 . . . . . . 7
12 rhmghm 16636 . . . . . . . . . . . 12
13 kerf1hrm.n . . . . . . . . . . . . 13
14 kerf1hrm.0 . . . . . . . . . . . . 13
1513, 14ghmid 15690 . . . . . . . . . . . 12
1612, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11
1716ad2antrr 710 . . . . . . . . . 10
1817eqeq2d 2433 . . . . . . . . 9
19 rhmrcl1 16632 . . . . . . . . . . . 12
2019ad2antrr 710 . . . . . . . . . . 11
21 rnggrp 16478 . . . . . . . . . . 11
22 kerf1hrm.a . . . . . . . . . . . 12
2322, 13grpidcl 15503 . . . . . . . . . . 11
2420, 21, 233syl 19 . . . . . . . . . 10
25 dff13 5939 . . . . . . . . . . . . 13
2625simprbi 454 . . . . . . . . . . . 12
2726adantl 456 . . . . . . . . . . 11
2827r19.21bi 2793 . . . . . . . . . 10
29 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . 13
3029eqeq2d 2433 . . . . . . . . . . . 12
31 eqeq2 2431 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31imbi12d 314 . . . . . . . . . . 11
3332rspcva 3049 . . . . . . . . . 10
3424, 28, 33syl2anc 646 . . . . . . . . 9
3518, 34sylbird 229 . . . . . . . 8
3635imp 422 . . . . . . 7
371, 7, 11, 36syl21anc 1202 . . . . . 6
3837ex 427 . . . . 5
39 elsn 3868 . . . . 5
4038, 39syl6ibr 221 . . . 4
4140ssrdv 3339 . . 3
4219, 21, 233syl 19 . . . . . 6
43 fvex 5671 . . . . . . . 8
4443elsnc 3878 . . . . . . 7
4516, 44sylibr 206 . . . . . 6
46 kerf1hrm.b . . . . . . . 8
4722, 46rhmf 16637 . . . . . . 7
48 ffn 5529 . . . . . . 7
49 elpreima 5793 . . . . . . 7
5047, 48, 493syl 19 . . . . . 6
5142, 45, 50mpbir2and 898 . . . . 5
5251snssd 3993 . . . 4
5352adantr 455 . . 3
5441, 53eqssd 3350 . 2
5547adantr 455 . . 3
5612adantr 455 . . . . . . . . . 10
57 simpr2l 1032 . . . . . . . . . 10
58 simpr2r 1033 . . . . . . . . . 10
59 simpr3 981 . . . . . . . . . 10
60 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12
61 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12
6222, 14, 60, 61ghmeqker 15710 . . . . . . . . . . 11
6362biimpa 474 . . . . . . . . . 10
6456, 57, 58, 59, 63syl31anc 1206 . . . . . . . . 9
65 simpr1 979 . . . . . . . . 9
6664, 65eleqtrd 2498 . . . . . . . 8
67 ovex 6086 . . . . . . . . 9
6867elsnc 3878 . . . . . . . 8
6966, 68sylib 190 . . . . . . 7
7019adantr 455 . . . . . . . . 9
7170, 21syl 16 . . . . . . . 8
7222, 13, 61grpsubeq0 15549 . . . . . . . 8
7371, 57, 58, 72syl3anc 1203 . . . . . . 7
7469, 73mpbid 204 . . . . . 6
75743anassrs 1194 . . . . 5
7675ex 427 . . . 4
7776ralrimivva 2787 . . 3
7855, 77, 25sylanbrc 649 . 2
7954, 78impbida 813 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  A.wral 2694  C_wss 3305  {csn 3853  `'ccnv 4810  "cima 4814  Fnwfn 5385  -->wf 5386  -1-1->wf1 5387  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cbs 14114   c0g 14318   cgrp 15350   csg 15353   cghm 15681   crg 16469   crh 16627
This theorem is referenced by:  zrhf1ker  26113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-map 7177  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-plusg 14191  df-0g 14320  df-mnd 15355  df-mhm 15404  df-grp 15482  df-minusg 15483  df-sbg 15484  df-ghm 15682  df-mgp 16458  df-rng 16472  df-ur 16474  df-rnghom 16629
  Copyright terms: Public domain W3C validator