Theorem kmlem12 8562

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 27-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
kmlem9.1

Assertion

Ref	Expression
kmlem12

Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,

Proof of Theorem kmlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kmlem9.1	. . . . 5
2	1	raleqi 3058	. . . 4
3		df-ral 2812	. . . 4
4		vex 3112	. . . . . . . . 9
5		eqeq1 2461	. . . . . . . . . 10
6	5	rexbidv 2968	. . . . . . . . 9
7	4, 6	elab 3246	. . . . . . . 8
8	7	imbi1i 325	. . . . . . 7
9		r19.23v 2937	. . . . . . 7
10	8, 9	bitr4i 252	. . . . . 6
11	10	albii 1640	. . . . 5
12		ralcom4 3128	. . . . 5
13		vex 3112	. . . . . . . 8
14		difexg 4600	. . . . . . . 8
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7
16		neeq1 2738	. . . . . . . 8
17		ineq1 3692	. . . . . . . . . 10
18	17	eleq2d 2527	. . . . . . . . 9
19	18	eubidv 2304	. . . . . . . 8
20	16, 19	imbi12d 320	. . . . . . 7
21	15, 20	ceqsalv 3137	. . . . . 6
22	21	ralbii 2888	. . . . 5
23	11, 12, 22	3bitr2i 273	. . . 4
24	2, 3, 23	3bitri 271	. . 3
25		ralim 2846	. . 3
26	24, 25	sylbi 195	. 2
27		difeq1 3614	. . . . . . . 8
28		sneq 4039	. . . . . . . . . . 11
29	28	difeq2d 3621	. . . . . . . . . 10
30	29	unieqd 4259	. . . . . . . . 9
31	30	difeq2d 3621	. . . . . . . 8
32	27, 31	eqtrd 2498	. . . . . . 7
33	32	neeq1d 2734	. . . . . 6
34	33	cbvralv 3084	. . . . 5
35	32	ineq1d 3698	. . . . . . . 8
36	35	eleq2d 2527	. . . . . . 7
37	36	eubidv 2304	. . . . . 6
38	37	cbvralv 3084	. . . . 5
39	34, 38	imbi12i 326	. . . 4
40		in12 3708	. . . . . . . . . . 11
41		incom 3690	. . . . . . . . . . 11
42	40, 41	eqtri 2486	. . . . . . . . . 10
43	1	kmlem11 8561	. . . . . . . . . . 11
44	43	ineq1d 3698	. . . . . . . . . 10
45	42, 44	syl5req 2511	. . . . . . . . 9
46	45	eleq2d 2527	. . . . . . . 8
47	46	eubidv 2304	. . . . . . 7
48		ax-1 6	. . . . . . 7
49	47, 48	syl6bi 228	. . . . . 6
50	49	ralimia 2848	. . . . 5
51	50	imim2i 14	. . . 4
52	39, 51	sylbi 195	. . 3
53	52	com12 31	. 2
54	26, 53	syl5 32	1

Syntax hints:  ->wi 4  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  E!weu 2282  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  \cdif 3472  i^icin 3474  c0 3784  {csn 4029  U.cuni 4249

This theorem is referenced by:  kmlem13  8563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-sn 4030  df-uni 4250  df-iun 4332