MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  knatar Unicode version

Theorem knatar 6253
Description: The Knaster-Tarski theorem says that every monotone function over a complete lattice has a (least) fixpoint. Here we specialize this theorem to the case when the lattice is the powerset lattice . (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
knatar.1
Assertion
Ref Expression
knatar
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,   , ,

Proof of Theorem knatar
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knatar.1 . . 3
2 pwidg 4025 . . . . 5
323ad2ant1 1017 . . . 4
4 simp2 997 . . . 4
5 fveq2 5871 . . . . . 6
6 id 22 . . . . . 6
75, 6sseq12d 3532 . . . . 5
87intminss 4313 . . . 4
93, 4, 8syl2anc 661 . . 3
101, 9syl5eqss 3547 . 2
11 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
12 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
1311, 12sseq12d 3532 . . . . . . . . . . . . 13
1413intminss 4313 . . . . . . . . . . . 12
1514adantl 466 . . . . . . . . . . 11
161, 15syl5eqss 3547 . . . . . . . . . 10
17 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
1817elpw2 4616 . . . . . . . . . 10
1916, 18sylibr 212 . . . . . . . . 9
20 simprl 756 . . . . . . . . . 10
21 simpl3 1001 . . . . . . . . . 10
22 pweq 4015 . . . . . . . . . . . 12
23 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
2423sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . 12
2522, 24raleqbidv 3068 . . . . . . . . . . 11
2625rspcv 3206 . . . . . . . . . 10
2720, 21, 26sylc 60 . . . . . . . . 9
28 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
2928sseq1d 3530 . . . . . . . . . 10
3029rspcv 3206 . . . . . . . . 9
3119, 27, 30sylc 60 . . . . . . . 8
32 simprr 757 . . . . . . . 8
3331, 32sstrd 3513 . . . . . . 7
3433expr 615 . . . . . 6
3534ralrimiva 2871 . . . . 5
36 ssintrab 4310 . . . . 5
3735, 36sylibr 212 . . . 4
3813cbvrabv 3108 . . . . . 6
3938inteqi 4290 . . . . 5
401, 39eqtri 2486 . . . 4
4137, 40syl6sseqr 3550 . . 3
42 elpw2g 4615 . . . . . . . . . 10
43423ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9
4410, 43mpbird 232 . . . . . . . 8
45 simp3 998 . . . . . . . . 9
46 pweq 4015 . . . . . . . . . . 11
47 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
4847sseq2d 3531 . . . . . . . . . . 11
4946, 48raleqbidv 3068 . . . . . . . . . 10
5049rspcv 3206 . . . . . . . . 9
513, 45, 50sylc 60 . . . . . . . 8
5228sseq1d 3530 . . . . . . . . 9
5352rspcv 3206 . . . . . . . 8
5444, 51, 53sylc 60 . . . . . . 7
5554, 4sstrd 3513 . . . . . 6
56 fvex 5881 . . . . . . 7
5756elpw 4018 . . . . . 6
5855, 57sylibr 212 . . . . 5
5956elpw 4018 . . . . . . 7
6041, 59sylibr 212 . . . . . 6
61 pweq 4015 . . . . . . . . 9
62 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
6362sseq2d 3531 . . . . . . . . 9
6461, 63raleqbidv 3068 . . . . . . . 8
6564rspcv 3206 . . . . . . 7
6644, 45, 65sylc 60 . . . . . 6
67 fveq2 5871 . . . . . . . 8
6867sseq1d 3530 . . . . . . 7
6968rspcv 3206 . . . . . 6
7060, 66, 69sylc 60 . . . . 5
71 fveq2 5871 . . . . . . 7
72 id 22 . . . . . . 7
7371, 72sseq12d 3532 . . . . . 6
7473intminss 4313 . . . . 5
7558, 70, 74syl2anc 661 . . . 4
7640, 75syl5eqss 3547 . . 3
7741, 76eqssd 3520 . 2
7810, 77jca 532 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  |^|cint 4286  `cfv 5593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-iota 5556  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator