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Theorem konigthlem 8964
Description: Lemma for konigth 8965. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
konigth.1
konigth.2
konigth.3
konigth.4
konigth.5
Assertion
Ref Expression
konigthlem
Distinct variable groups:   , , , ,   , ,   , ,   M, ,   N, , ,   P, , ,   S, , ,

Proof of Theorem konigthlem
StepHypRef Expression
1 fvex 5881 . . . . . . . . 9
2 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
3 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
42, 3fnmpti 5714 . . . . . . . . . 10
51mptex 6143 . . . . . . . . . . . 12
6 konigth.4 . . . . . . . . . . . . 13
76fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . 12
85, 7mpan2 671 . . . . . . . . . . 11
98fneq1d 5676 . . . . . . . . . 10
104, 9mpbiri 233 . . . . . . . . 9
11 fnrndomg 8934 . . . . . . . . 9
121, 10, 11mpsyl 63 . . . . . . . 8
13 domsdomtr 7672 . . . . . . . 8
1412, 13sylan 471 . . . . . . 7
15 sdomdif 7685 . . . . . . 7
1614, 15syl 16 . . . . . 6
1716ralimiaa 2849 . . . . 5
18 konigth.1 . . . . . 6
19 fvex 5881 . . . . . . 7
20 difss 3630 . . . . . . 7
2119, 20ssexi 4597 . . . . . 6
2218, 21ac6c5 8883 . . . . 5
23 equid 1791 . . . . . . 7
24 eldifi 3625 . . . . . . . . . . . . 13
25 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 konigth.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15
2825, 27mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . 14
2928eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13
3024, 29syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . 12
3130ralimia 2848 . . . . . . . . . . 11
3225, 26fnmpti 5714 . . . . . . . . . . 11
3331, 32jctil 537 . . . . . . . . . 10
3418mptex 6143 . . . . . . . . . . . 12
3526, 34eqeltri 2541 . . . . . . . . . . 11
3635elixp 7496 . . . . . . . . . 10
3733, 36sylibr 212 . . . . . . . . 9
38 konigth.3 . . . . . . . . 9
3937, 38syl6eleqr 2556 . . . . . . . 8
40 foelrn 6050 . . . . . . . . . 10
4140expcom 435 . . . . . . . . 9
42 konigth.2 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . . 14
44 eliun 4335 . . . . . . . . . . . . . 14
4543, 44bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13
46 nfra1 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15
47 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . . . 15
4846, 47nfan 1928 . . . . . . . . . . . . . 14
49 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . . 14
5028ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
51 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
528fveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
533fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
542, 53mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5552, 54sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5655eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5751, 56sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5850, 57eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
59 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6010, 59sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6258, 61eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
63623adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
64 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
65 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
66 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
67 eldifn 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6866, 67syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6964, 65, 68sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7063, 69pm2.21dd 174 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71703expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . 15
7271expd 436 . . . . . . . . . . . . . 14
7348, 49, 72rexlimd 2941 . . . . . . . . . . . . 13
7445, 73syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12
7574ex 434 . . . . . . . . . . 11
7675com23 78 . . . . . . . . . 10
7776rexlimdv 2947 . . . . . . . . 9
7841, 77syl9r 72 . . . . . . . 8
7939, 78mpd 15 . . . . . . 7
8023, 79mt2i 118 . . . . . 6
8180exlimiv 1722 . . . . 5
8217, 22, 813syl 20 . . . 4
8382nexdv 1884 . . 3
8410dom 7667 . . . . . . . 8
85 domsdomtr 7672 . . . . . . . 8
8684, 85mpan 670 . . . . . . 7
87190sdom 7668 . . . . . . 7
8886, 87sylib 196 . . . . . 6
8988ralimi 2850 . . . . 5
9038neeq1i 2742 . . . . . 6
9119rgenw 2818 . . . . . . . . 9
92 ixpexg 7513 . . . . . . . . 9
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . 8
9438, 93eqeltri 2541 . . . . . . 7
95940sdom 7668 . . . . . 6
9618, 19ac9 8884 . . . . . 6
9790, 95, 963bitr4i 277 . . . . 5
9889, 97sylibr 212 . . . 4
9918, 1iunex 6780 . . . . . . 7
10042, 99eqeltri 2541 . . . . . 6
101 domtri 8952 . . . . . 6
10294, 100, 101mp2an 672 . . . . 5
103102biimpri 206 . . . 4
104 fodomr 7688 . . . 4
10598, 103, 104syl2an 477 . . 3
10683, 105mtand 659 . 2
107106notnotrd 113 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472   c0 3784  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591  `cfv 5593  X_cixp 7489   cdom 7534   csdm 7535
This theorem is referenced by:  konigth  8965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-er 7330  df-map 7441  df-ixp 7490  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341  df-acn 8344  df-ac 8518
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