MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbreu Unicode version

Theorem lbreu 10518
Description: If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
lbreu
Distinct variable group:   , ,S

Proof of Theorem lbreu
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4456 . . . . . . . . 9
21rspcv 3206 . . . . . . . 8
3 breq2 4456 . . . . . . . . 9
43rspcv 3206 . . . . . . . 8
52, 4im2anan9r 836 . . . . . . 7
6 ssel 3497 . . . . . . . . . . . 12
7 ssel 3497 . . . . . . . . . . . 12
86, 7anim12d 563 . . . . . . . . . . 11
98impcom 430 . . . . . . . . . 10
10 letri3 9691 . . . . . . . . . 10
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9
1211exbiri 622 . . . . . . . 8
1312com23 78 . . . . . . 7
145, 13syld 44 . . . . . 6
1514com3r 79 . . . . 5
1615ralrimivv 2877 . . . 4
1716anim2i 569 . . 3
1817ancoms 453 . 2
19 breq1 4455 . . . 4
2019ralbidv 2896 . . 3
2120reu4 3293 . 2
2218, 21sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  E!wreu 2809  C_wss 3475   class class class wbr 4452   cr 9512   cle 9650
This theorem is referenced by:  lbcl  10519  lble  10520  uzwo2  11175  uzinfmi  11190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655
  Copyright terms: Public domain W3C validator