Theorem ledivp1 9963

Description: Less-than-or-equal-to and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ledivp1

Proof of Theorem ledivp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 734	. . 3
2		peano2re 9290	. . . 4
3	2	ad2antrl 710	. . 3
4		simpll 732	. . . . 5
5		ltp1 9899	. . . . . . . . 9
6		0re 9142	. . . . . . . . . . 11
7		lelttr 9216	. . . . . . . . . . 11
8	6, 7	mp3an1 1267	. . . . . . . . . 10
9	2, 8	mpdan 651	. . . . . . . . 9
10	5, 9	mpan2d 657	. . . . . . . 8
11	10	imp 420	. . . . . . 7
12	11	gt0ne0d 9642	. . . . . 6
13	12	adantl 454	. . . . 5
14	4, 3, 13	redivcld 9893	. . . 4
15	2	adantr 453	. . . . . 6
16	15, 11	jca 520	. . . . 5
17		divge0 9930	. . . . 5
18	16, 17	sylan2 462	. . . 4
19	14, 18	jca 520	. . 3
20		lep1 9900	. . . 4
21	20	ad2antrl 710	. . 3
22		lemul2a 9916	. . 3
23	1, 3, 19, 21, 22	syl31anc 1188	. 2
24		recn 9131	. . . 4
25	24	ad2antrr 708	. . 3
26	2	recnd 9165	. . . 4
27	26	ad2antrl 710	. . 3
28	25, 27, 13	divcan1d 9842	. 2
29	23, 28	breqtrd 4267	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 360  e.wcel 1728  =/=wne 2606   class class class wbr 4243  (class class class)co 6129  cc 9039  cr 9040  0cc0 9041  1c1 9042  caddc 9044  cmul 9046  clt 9171  cle 9172  cdiv 9728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-op 3850  df-uni 4044  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-riota 6599  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-div 9729