MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp1a Unicode version

Theorem leexp1a 12224
Description: Weak mantissa ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
leexp1a

Proof of Theorem leexp1a
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . . 7
2 oveq2 6304 . . . . . . 7
31, 2breq12d 4465 . . . . . 6
43imbi2d 316 . . . . 5
5 oveq2 6304 . . . . . . 7
6 oveq2 6304 . . . . . . 7
75, 6breq12d 4465 . . . . . 6
87imbi2d 316 . . . . 5
9 oveq2 6304 . . . . . . 7
10 oveq2 6304 . . . . . . 7
119, 10breq12d 4465 . . . . . 6
1211imbi2d 316 . . . . 5
13 oveq2 6304 . . . . . . 7
14 oveq2 6304 . . . . . . 7
1513, 14breq12d 4465 . . . . . 6
1615imbi2d 316 . . . . 5
17 recn 9603 . . . . . . 7
18 recn 9603 . . . . . . 7
19 exp0 12170 . . . . . . . . . 10
2019adantr 465 . . . . . . . . 9
21 1le1 10202 . . . . . . . . 9
2220, 21syl6eqbr 4489 . . . . . . . 8
23 exp0 12170 . . . . . . . . 9
2423adantl 466 . . . . . . . 8
2522, 24breqtrrd 4478 . . . . . . 7
2617, 18, 25syl2an 477 . . . . . 6
2726adantr 465 . . . . 5
28 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14
29 reexpcl 12183 . . . . . . . . . . . . . 14
3028, 29sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
31 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . 14
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
33 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . 14
34 expge0 12202 . . . . . . . . . . . . . 14
3531, 32, 33, 34syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13
36 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14
37 reexpcl 12183 . . . . . . . . . . . . . 14
3836, 37sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
3930, 35, 38jca31 534 . . . . . . . . . . . 12
40 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14
41 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14
4240, 41anim12i 566 . . . . . . . . . . . . 13
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
44 simpllr 760 . . . . . . . . . . . 12
4539, 43, 44jca32 535 . . . . . . . . . . 11
4645adantr 465 . . . . . . . . . 10
47 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
48 simplrr 762 . . . . . . . . . . . 12
4948adantr 465 . . . . . . . . . . 11
5047, 49jca 532 . . . . . . . . . 10
51 lemul12a 10425 . . . . . . . . . 10
5246, 50, 51sylc 60 . . . . . . . . 9
53 expp1 12173 . . . . . . . . . . . . 13
5417, 53sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
5554adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
5655adantlr 714 . . . . . . . . . 10
5756adantr 465 . . . . . . . . 9
58 expp1 12173 . . . . . . . . . . . . 13
5918, 58sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
6059adantll 713 . . . . . . . . . . 11
6160adantlr 714 . . . . . . . . . 10
6261adantr 465 . . . . . . . . 9
6352, 57, 623brtr4d 4482 . . . . . . . 8
6463ex 434 . . . . . . 7
6564expcom 435 . . . . . 6
6665a2d 26 . . . . 5
674, 8, 12, 16, 27, 66nn0ind 10984 . . . 4
6867exp4c 608 . . 3
6968com3l 81 . 2
70693imp1 1209 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cle 9650   cn0 10820   cexp 12166
This theorem is referenced by:  expubnd  12226  facubnd  12378  pserulm  22817  logexprlim  23500  ostth2lem2  23819  ostth3  23823  dvdivbd  31720  stoweidlem1  31783  stoweidlem24  31806  etransclem23  32040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167
  Copyright terms: Public domain W3C validator